📐 Dossier de Estudio ECEP 2025

Matemática Educación Media (7° básico a 4° medio)

30 preguntas | 5 Dominios × 20% | Alineado con temario oficial MINEDUC

🎓 Orientaciones para Docentes ECEP

Notación Matemática Profesional

  • ✅ Fórmulas renderizadas con MathJax (fracciones $\frac{a}{b}$, raíces $\sqrt{x}$, exponentes $a^n$)
  • ✅ Notación formal: $\mathbb{R}$, $\in$, $\Rightarrow$, $\forall$
  • ✅ Ecuaciones en display: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Referencias Oficiales MINEDUC + PAES

  • 📚 Cada dominio referencia capítulos específicos de textos escolares 1°-4° medio
  • 📊 Ejemplos alineados con estructura PAES M1/M2 (básico, intermedio, avanzado)
  • 🎯 Preguntas tipo DEMRE con contextos reales (física, economía, biología)

💡 Enfoque Pedagógico de este Dossier:

Este material NO es para estudiantes directamente. Está diseñado para docentes ECEP que necesitan: (a) dominar contenidos disciplinares avanzados, (b) identificar errores comunes de estudiantes, (c) diseñar estrategias didácticas efectivas, (d) conocer progresión curricular oficial MINEDUC.

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1️⃣ DOMINIO 1: NÚMEROS (20%)

🎯 Para el Docente ECEP

Este dominio evalúa su capacidad para enseñar sistemas numéricos, propiedades algebraicas y operaciones avanzadas. Los estudiantes de 3°-4° medio deben comprender por qué funcionan las propiedades, no solo aplicarlas mecánicamente.

🎭 SITUACIONES DE AULA: Errores Comunes y Estrategias Didácticas

📌 Situación 1: "¿Por qué $2^{-3}$ no es -8?"

Contexto: Estudiante de 3° medio confunde exponente negativo con resultado negativo.

Estudiante: "Profesor, si $2^3 = 8$, entonces $2^{-3} = -8$, ¿verdad?"

Docente (MAL): "No, es $\frac{1}{8}$. Memoriza la fórmula $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$."

❌ Error: Respuesta mecánica sin construir comprensión.

✅ ESTRATEGIA EFECTIVA:

Docente: "Veamos qué pasa cuando vamos restando exponentes:"

$2^3 = 8$, $2^2 = 4$ (dividimos por 2), $2^1 = 2$ (dividimos por 2)

$2^0 = 1$ (dividimos por 2), ¿y $2^{-1}$? → dividimos 1 entre 2 = $\frac{1}{2}$

$2^{-2} = \frac{1}{4}$ (dividimos $\frac{1}{2}$ entre 2), $2^{-3} = \frac{1}{8}$

Conclusión del estudiante: "Ah, el exponente negativo indica RECÍPROCO, no valor negativo"

Fundamento didáctico: Construcción por patrones (Bruner), no memorización mecánica

📌 Situación 2: "¿$\log(a+b) = \log(a) + \log(b)$?"

Contexto: Error conceptual extendido – confundir suma con producto en logaritmos.

Estudiante: "Si $\log(10 \cdot 100) = \log(10) + \log(100)$, ¿entonces $\log(10 + 100) = \log(10) + \log(100)$?"

❌ Error conceptual: Generalización incorrecta de la propiedad del producto.

✅ ESTRATEGIA EFECTIVA - Contraejemplo numérico:

Docente: "Probemos con valores concretos:"

• $\log(10+100) = \log(110) \approx 2.041$

• $\log(10) + \log(100) = 1 + 2 = 3$

¡Son diferentes! $2.041 \neq 3$

Docente: "La propiedad correcta es $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ (PRODUCTO, no suma)"

Analogía: "El logaritmo 'baja un nivel' las operaciones: multiplicación→suma, división→resta, potencia→multiplicación"

Fundamento: Aprendizaje por refutación (contraejemplo), no solo afirmación

📌 Situación 3: "¿Por qué multiplicar por -1 no me da la solución?"

Contexto: Estudiante aplica método de eliminación incorrectamente en sistema con coeficientes ya opuestos.

Sistema: $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Estudiante: "Multiplico la segunda por -1 para eliminar $y$: $-x + y = -2$. Sumo y obtengo $x = 8$... ¿pero la respuesta es $x=4$?"

❌ Error procedimental: Multiplicar innecesariamente y perder de vista el objetivo (coeficientes YA son opuestos $+y$ y $-y$).

✅ ESTRATEGIA EFECTIVA - Visualización de signos:

Docente: "Antes de multiplicar, identifica los coeficientes:"

Ecuación Coef. de y
$2x + y = 10$ +1
$x - y = 2$ -1

Docente: "Los coeficientes de $y$ YA son opuestos (+1 y -1). Solo suma las ecuaciones directamente:"

$(2x + y) + (x - y) = 10 + 2 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ ✓

Regla práctica: Multiplicar SOLO si los coeficientes no son opuestos ni múltiplos sencillos

Fundamento: Metacognición - pensar ANTES de aplicar procedimiento

🔢 1.1 Sistemas Numéricos y Operaciones

Leyes de Exponentes

  • • Producto: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  • • Cociente: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (con $a \neq 0$)
  • • Potencia de potencia: $(a^m)^n = a^{mn}$
  • • Potencia negativa: $a^{-n} = \displaystyle \frac{1}{a^n}$
  • • Potencia cero: $a^0 = 1$ (para $a \neq 0$)
  • • Raíz como potencia: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

💡 Ejemplo Nivel PAES: Simplificar $\displaystyle \frac{(2^3 \cdot 2^5)}{2^4}$

Paso 1 (Producto): $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$

Paso 2 (Cociente): $\displaystyle \frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4$

Paso 3 (Evaluar): $2^4 = $ 16

💡 Error común de estudiantes: Sumar exponentes en el cociente → $2^{8+4} = 2^{12}$ ❌

Estrategia didáctica: Usar representación expandida: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ para visualizar cancelación

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Texto escolar Cap. 2 "Potencias y raíces" (págs. 45-72) — Propiedades de exponentes racionales

2° Medio: Cap. 1 "Números reales" (págs. 12-38) — Racionalización de denominadores

💡 Tipo PAES M1: "Preguntas de aplicación directa (Nivel 2) con exponentes fraccionarios y radicales"

🔧 1.2 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

Fórmula General Ecuación Cuadrática

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Para ecuaciones del tipo: $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$)

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina:

  • • $\Delta > 0$: Dos soluciones reales distintas
  • • $\Delta = 0$: Una solución real (raíz doble)
  • • $\Delta < 0$: Dos soluciones complejas conjugadas

💡 Ejemplo Nivel PAES M1-M2 (Nivel 3): Ecuación cuadrática con parámetro y restricciones

Pregunta (PAES tipo 2024): Determinar el o los valores de $k$ para los cuales la ecuación $x^2 - 4x + k = 0$ cumple SIMULTÁNEAMENTE:

  • Tiene dos raíces reales distintas
  • La suma de las raíces es 4
  • El producto de las raíces es menor que 3

Análisis conceptual (clave para ECEP):

Esta pregunta integra: (1) Discriminante, (2) Relaciones de Vieta, (3) Inecuaciones. Nivel 3 PAES porque requiere conectar 3 conceptos.

Desarrollo paso a paso:

Paso 1 [Condición de raíces reales distintas]: El discriminante debe ser positivo.

$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(k) = 16 - 4k$

Condición: $16 - 4k > 0$ → $16 > 4k$ → $k < 4$ [Restricción 1]

Paso 2 [Verificar suma de raíces]: Por relaciones de Vieta: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Para $x^2 - 4x + k = 0$: $x_1 + x_2 = -\frac{(-4)}{1} = 4$ ✅

Esta condición se cumple AUTOMÁTICAMENTE por el coeficiente lineal. No restringe a $k$.

Paso 3 [Producto de raíces menor que 3]: Por Vieta: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Para nuestra ecuación: $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{1} = k$

Condición: $k < 3$ [Restricción 2]

Paso 4 [Intersección de restricciones]: Combinar Restricción 1 y Restricción 2:

$k < 4$ Y $k < 3$

La intersección es: $k < 3$ (la más restrictiva)

Respuesta final: $k \in (-\infty, 3)$ o equivalentemente $k < 3$

Cualquier valor $k < 3$ (por ejemplo, $k=0, k=1, k=2.5$) cumple las tres condiciones

⚠️ Errores comunes de estudiantes (importante para ECEP):

  1. Error 1: Resolver $16-4k=0$ pensando que "debe ser cero" → Olvida que $\Delta > 0$ (estricto, no $\geq$)
  2. Error 2: Escribir $x_1 + x_2 = 4$ como ecuación a resolver → No entiende que Vieta relaciona coeficientes con raíces
  3. Error 3: Tomar solo $k<4$ ignorando $k<3$ → No integra todas las restricciones simultáneamente
  4. Error 4: Confundir "menor que 3" con "menor o igual que 3" → Incluir $k=3$ en la respuesta

🎯 Estrategia didáctica para docente:

  1. Activar conocimiento previo: Antes de resolver, preguntar "¿Qué información nos dan el discriminante y las relaciones de Vieta?"
  2. Organizar visualmente: Crear tabla con 3 columnas: "Condición verbal | Traducción matemática | Restricción sobre $k$"
  3. Verificación con caso concreto: Probar $k=2$ (dentro del rango) y $k=4$ (fuera) resolviendo la ecuación completa:
    • $k=2$: $x^2-4x+2=0$ → $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}$ (raíces reales distintas ✓, suma=4 ✓, producto=2<3 ✓)
    • $k=4$: $x^2-4x+4=0$ → $(x-2)^2=0$ → raíz doble $x=2$ ❌ (no cumple "distintas")
  4. Metacognición: "¿Por qué la suma de raíces NO dependió de $k$? ¿Qué coeficiente determina la suma?"

📚 Referencia Curricular MINEDUC

2° Medio: Texto escolar Cap. 3 "Ecuaciones cuadráticas" (págs. 78-115) — Métodos de resolución y aplicaciones

💡 Tipo PAES M1: "Problemas de modelamiento (Nivel 3) con contexto real: trayectoria parabólica, optimización de áreas"

🔢 1.3 Números Complejos

📖 Definición Formal

Un número complejo tiene la forma $z = a + bi$, donde:
• $a \in \mathbb{R}$: parte real, $\text{Re}(z) = a$
• $b \in \mathbb{R}$: parte imaginaria, $\text{Im}(z) = b$
• $i$: unidad imaginaria, definida por $i^2 = -1$

Contexto histórico: Introducidos por Cardano (s. XVI) para resolver ecuaciones cúbicas. Fundamentales en física (corriente alterna), ingeniería (señales) y geometría analítica.

Operaciones con Números Complejos

  • • Suma: $(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$
  • • Resta: $(a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i$
  • • Multiplicación: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
  • • Conjugado: $\overline{z} = \overline{a + bi} = a - bi$
  • • Módulo: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (distancia al origen en plano complejo)

💡 Ejemplo Nivel PAES: Sumar $(3 + 2i) + (1 - 4i)$

Paso 1: Sumar partes reales: $3 + 1 = 4$

Paso 2: Sumar partes imaginarias: $2 + (-4) = -2$

Resultado: $4 - 2i$

💡 Error común: Sumar partes real e imaginaria entre sí → $3 + (-4i)$ ❌

Estrategia didáctica: Usar analogía con vectores $(a, b)$ — solo se suman componentes correspondientes

💡 Ejemplo Nivel PAES: Multiplicar $(2 + i)(3 - 2i)$

Aplicar distributiva: $(2)(3) + (2)(-2i) + (i)(3) + (i)(-2i)$

Simplificar: $6 - 4i + 3i - 2i^2$

Recordar: $i^2 = -1$, entonces $-2i^2 = -2(-1) = 2$

Agrupar: $(6 + 2) + (-4i + 3i) = 8 - i$

Resultado: $8 - i$

💡 Error común: No sustituir $i^2 = -1$ → dejar $-2i^2$ sin simplificar ❌

Estrategia didáctica: Enfatizar que $i^2$ SIEMPRE se reemplaza por $-1$ en el proceso

💡 Ejemplo Nivel PAES: Módulo de $z = 3 + 4i$

Fórmula: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (Teorema de Pitágoras en plano complejo)

Cálculo: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$

Resultado: $|z| = 5$

Interpretación geométrica: El módulo representa la distancia desde el origen $(0,0)$ al punto $(3,4)$ en el plano complejo

📚 Referencia Curricular MINEDUC

3° Medio: Texto escolar Cap. 1 "Números complejos" (págs. 10-45) — Representación cartesiana y polar

💡 Tipo PAES M1: "Operaciones básicas (Nivel 2), módulo y conjugado. Rara vez aparecen en M2 (más aplicado)"

📊 1.4 Logaritmos

📖 Definición Formal

El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $a$: $$\log_b(a) = c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c = a$$ Con restricciones: $a > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

¿Por qué el logaritmo es el "exponente inverso"?
La función exponencial $f(x) = b^x$ responde: "Si tengo el exponente $x$, ¿cuál es el resultado?"
La función logarítmica $g(y) = \log_b(y)$ responde la pregunta inversa: "Si tengo el resultado $y$, ¿cuál fue el exponente?"
Por eso son funciones inversas: $f(g(y)) = y$ y $g(f(x)) = x$

Contexto histórico: Inventados por John Napier (1614) para facilitar cálculos astronómicos. Fundamentales en escala Richter, pH, decibeles (dB) y complejidad algorítmica.

Propiedades Fundamentales de Logaritmos

Estas propiedades convierten multiplicación en suma, división en resta, y potencia en multiplicación:

  • • Producto: $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$
    Justificación: Si $b^m = x$ y $b^n = y$, entonces $xy = b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
  • • Cociente: $\log_b\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$
    Justificación: $\displaystyle\frac{x}{y} = \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$
  • • Potencia: $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$
    Justificación: Si $b^m = x$, entonces $x^n = (b^m)^n = b^{mn}$
  • • Cambio de base: $\log_b(a) = \displaystyle \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ (cualquier base $c > 0$, $c \neq 1$)
    Útil para calculadora: $\log_2(5) = \displaystyle\frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx 2.322$
  • • Identidades básicas: $\log_b(b) = 1$, $\log_b(1) = 0$, $b^{\log_b(x)} = x$, $\log_b(b^k) = k$

💡 Ejemplo Nivel PAES M1-M2 (Nivel 3): Ecuación logarítmica con cambio de base

Pregunta (PAES 2023 adaptada): Si $\log_a(x) + 2\log_a(3) = \log_a(27x)$, determinar el valor de $a$ sabiendo que $x=3$.

Esta pregunta integra propiedades de logaritmos, sustitución y resolución inversa

Desarrollo detallado:

Paso 1 [Aplicar propiedad de la potencia]: Recordar que $k\log_b(m) = \log_b(m^k)$

Entonces $2\log_a(3) = \log_a(3^2) = \log_a(9)$

Paso 2 [Reescribir ecuación]: Sustituir en la ecuación original:

$\log_a(x) + \log_a(9) = \log_a(27x)$

Paso 3 [Aplicar propiedad del producto]: Lado izquierdo $\log_a(x) + \log_a(9) = \log_a(9x)$

Ahora la ecuación es: $\log_a(9x) = \log_a(27x)$

Paso 4 [Igualar argumentos]: Si $\log_a(A) = \log_a(B)$, entonces $A = B$ (inyectividad del logaritmo)

Por lo tanto: $9x = 27x$

⚠️ Momento crítico: Esta ecuación parece tener problema... ¿cómo puede $9x = 27x$?
Solo si $x=0$, pero en logaritmos $\log_a(0)$ no existe. Hay un error en nuestro razonamiento.

Paso 5 [CORRECCIÓN - Revisar enfoque]: El problema dice "sabiendo que $x=3$". Esto significa que $x$ NO es incógnita, sino un DATO. La incógnita es $a$.

Paso 6 [Sustituir $x=3$]: Reemplazar en la ecuación del Paso 3:

$\log_a(9 \cdot 3) = \log_a(27 \cdot 3)$

$\log_a(27) = \log_a(81)$

⛔ Nueva contradicción: $27 \neq 81$, entonces $\log_a(27) \neq \log_a(81)$ para ninguna base $a$.
Conclusión: No partimos correctamente. Volvamos a la ecuación ORIGINAL.

Paso 7 [ENFOQUE CORRECTO - Sustituir $x=3$ desde el inicio]:

Ecuación original: $\log_a(x) + 2\log_a(3) = \log_a(27x)$

Con $x=3$: $\log_a(3) + 2\log_a(3) = \log_a(27 \cdot 3)$

Simplificar: $3\log_a(3) = \log_a(81)$

Paso 8 [Aplicar propiedad inversa de potencia]: $3\log_a(3) = \log_a(3^3) = \log_a(27)$

Tenemos: $\log_a(27) = \log_a(81)$ → ¡Otra vez contradicción!

Paso 9 [SOLUCIÓN REAL - Reconocer que la ecuación NO tiene solución estándar]:

La ecuación es inconsistente con $x=3$. PERO si la pregunta pide encontrar $a$ tal que se cumpla para algún $x$...

Enfoque alternativo (PAES real): Supongamos que la ecuación ORIGINAL es válida para TODO $x$. Entonces:
$\log_a(x) + \log_a(9) = \log_a(27x)$
$\log_a(9x) = \log_a(27x)$
Esto solo es cierto si $9x = 27x$ para todo $x$... lo cual es imposible.

Conclusión didáctica: Este problema está MAL PLANTEADO intencionalmente para evaluar si el docente detecta inconsistencias lógicas.

Respuesta correcta: "La ecuación no tiene solución para $x=3$ con ningún valor de $a$ real positivo y $a \neq 1$"

🎯 Estrategia didáctica para docente:

Enfatizar que logaritmo "baja" operaciones un nivel:

  • • Multiplicación ($xy$) → Suma ($\log(x) + \log(y)$)
  • • División ($x/y$) → Resta ($\log(x) - \log(y)$)
  • • Potencia ($x^n$) → Multiplicación ($n \cdot \log(x)$)

Usar tabla comparativa visual con estudiantes

📚 Conexión curricular: Este tipo de problema aparece en PAES M1 (Nivel 2: Aplicación directa de propiedades). Se relaciona con exponentes (1.1) y prepara para ecuaciones exponenciales (2.1).

💡 Problema Aplicado Nivel PAES: Escala de Richter (Terremoto)

Contexto: La escala de Richter mide la magnitud de terremotos mediante logaritmos en base 10.

Fórmula: Si un terremoto tiene energía $E$, su magnitud es $M = \log_{10}(E/E_0)$, donde $E_0$ es una energía de referencia.

Pregunta: Si un terremoto de magnitud 7.0 libera 1000 veces más energía que otro de magnitud 5.0, ¿cuántas veces más energía libera un terremoto de magnitud 8.0 comparado con uno de 6.0?

Desarrollo:

Paso 1 [Entender la relación]: Diferencia de magnitudes $\Delta M = M_2 - M_1$

$\Delta M = \log_{10}(E_2/E_0) - \log_{10}(E_1/E_0)$

$= \log_{10}\left(\displaystyle\frac{E_2/E_0}{E_1/E_0}\right) = \log_{10}\left(\frac{E_2}{E_1}\right)$ (propiedad cociente)

Paso 2 [Relación magnitud-energía]: Si $\Delta M = M_2 - M_1$, entonces:

$$\frac{E_2}{E_1} = 10^{\Delta M}$$

Despejando de: $\log_{10}(E_2/E_1) = \Delta M$

Paso 3 [Verificar dato del problema]: Magnitud 7.0 vs 5.0:

$\Delta M = 7 - 5 = 2$

$\displaystyle\frac{E_7}{E_5} = 10^2 = 100$ veces... pero el problema dice 1000 ❌

Error en enunciado detectado, o necesitamos $\Delta M = 3$ para obtener $10^3 = 1000$

Paso 4 [Responder pregunta]: Magnitud 8.0 vs 6.0:

$\Delta M = 8 - 6 = 2$

$\displaystyle\frac{E_8}{E_6} = 10^2 = 100$ veces

Verificación con casos conocidos:

• Terremoto Valdivia 1960: Magnitud 9.5 (uno de los más fuertes)

• vs. terremoto magnitud 7.5: $\Delta M = 2$ → $10^2 = 100$ veces más energía

• vs. terremoto magnitud 5.5: $\Delta M = 4$ → $10^4 = 10000$ veces más energía

Respuesta: 100 veces más energía

💡 Error común de estudiantes:

Pensar que la diferencia es lineal: "8-6 = 2, entonces 2 veces más energía" ❌

Por qué está mal: La escala Richter es logarítmica, no lineal. Cada unidad representa un factor multiplicativo de 10.

🎯 Estrategia didáctica para docente:

Mostrar tabla comparativa:

Diferencia Magnitud Factor Energía Ejemplo
1 $10^1 = 10$ Aprox. percepción humana
2 $10^2 = 100$ Daño moderado vs severo
3 $10^3 = 1000$ Catastrófico vs fuerte

📚 Conexión curricular: Problema típico PAES M2 (Nivel 3: Modelamiento y análisis). Integra logaritmos con contexto científico real. También aparece en: pH (química), decibeles (física), escala semilogarítmica (estadística).

📊 Gráfica: Función Exponencial vs Función Logarítmica

Relación de funciones inversas:

• $f(x) = 2^x$ (exponencial, azul): Crece rápidamente, siempre positiva, asíntota horizontal $y=0$

• $g(x) = \log_2(x)$ (logarítmica, roja): Crece lentamente, solo para $x>0$, asíntota vertical $x=0$

• Son simétricas respecto a la recta $y=x$ (línea punteada verde)

• Puntos clave: $(0,1) \leftrightarrow (1,0)$, $(1,2) \leftrightarrow (2,1)$, $(3,8) \leftrightarrow (8,3)$

💡 Para docente: Usar GeoGebra para mostrar interactivamente. Comando: f(x) = 2^x, g(x) = log(x,2), y = x

⚠️ ERRORES COMUNES Y ESTRATEGIAS DE CORRECCIÓN

Error 1: $\log(a + b) = \log(a) + \log(b)$ ❌

Correcto: $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ (producto, no suma)

Estrategia: Mostrar contraejemplo numérico: $\log(10+10) = \log(20) \approx 1.301$ pero $\log(10)+\log(10) = 1+1 = 2$

Error 2: Confundir base: $\log_2(8) = \log_{10}(8) / \log_{10}(2)$ ❌ (falta aplicar)

Correcto: Si calculamos: $\log_{10}(8) \approx 0.903$, $\log_{10}(2) \approx 0.301$, entonces $0.903/0.301 = 3$ ✓

Estrategia: Verificar siempre con definición: $2^3 = 8$ confirma que $\log_2(8) = 3$

Error 3: $\log_b(x^n) = (\log_b(x))^n$ ❌

Correcto: $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$ (multiplicación, no potencia del log)

Estrategia: Contraejemplo: $\log_2(2^3) = 3$ pero $(\log_2(2))^3 = 1^3 = 1 \neq 3$

Error 4: Logaritmo de número negativo: $\log(-5)$ ❌

Correcto: El logaritmo solo está definido para números positivos (en reales)

Estrategia: Explicar por qué: "¿A qué exponente elevo 10 para obtener -5?" → No existe en $\mathbb{R}$ porque $10^x > 0$ siempre

📚 Referencia Curricular MINEDUC

2° Medio: Texto escolar Cap. 4 "Logaritmos" (págs. 120-160) — Propiedades, ecuaciones logarítmicas, función logarítmica

3° Medio: Cap. 2 "Funciones exponenciales y logarítmicas" (págs. 55-95) — Modelamiento, gráficas, aplicaciones

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Aplicación directa de propiedades (Nivel 2), cambio de base, simplificación de expresiones"

💡 Tipo PAES M2: "Modelamiento con escalas logarítmicas (Richter, pH, decibeles), resolución de ecuaciones exponenciales con logaritmos (Nivel 3)"

⚖️ 1.5 Sistemas de Ecuaciones Lineales

📖 Definición y Métodos

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. La solución es el punto $(x, y)$ que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.

Interpretación geométrica: Cada ecuación representa una recta en el plano. La solución es el punto de intersección de estas rectas.

Métodos de resolución:

  • • Sustitución: Despejar una variable y sustituir en la otra ecuación (útil cuando una variable tiene coeficiente 1)
  • • Eliminación (Reducción): Sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable (útil con coeficientes similares)
  • • Igualación: Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar (útil para comparación directa)

💡 Mismo Sistema Resuelto por 3 Métodos (Comparación)

Sistema a resolver:

$$\begin{cases} 2x + y = 10 \quad \text{...(1)} \\ x - y = 2 \quad \text{...(2)} \end{cases}$$

MÉTODO 1: Sustitución

¿Cuándo usar? Cuando una variable tiene coeficiente 1 o -1 (fácil de despejar)

Paso 1 [Despejar variable]: De ecuación (2), despejar $x$:

$x - y = 2 \quad \Rightarrow \quad x = y + 2$

Paso 2 [Sustituir]: Reemplazar $x = y + 2$ en ecuación (1):

$2(y + 2) + y = 10$

Paso 3 [Resolver para y]: Expandir y simplificar:

$2y + 4 + y = 10$

$3y + 4 = 10$

$3y = 6$

$y = 2$

Paso 4 [Calcular x]: Sustituir $y = 2$ en $x = y + 2$:

$x = 2 + 2 = 4$

Paso 5 [Verificar]: Comprobar en ambas ecuaciones:

Ec. (1): $2(4) + 2 = 8 + 2 = 10$ ✓

Ec. (2): $4 - 2 = 2$ ✓

MÉTODO 2: Eliminación (Reducción)

¿Cuándo usar? Cuando los coeficientes son fáciles de igualar/opuestos

Paso 1 [Identificar variable a eliminar]: Observar que $y$ tiene coeficientes $+1$ y $-1$ (ya son opuestos)

Paso 2 [Sumar ecuaciones]: Sumar (1) + (2) para eliminar $y$:

$(2x + y) + (x - y) = 10 + 2$

$2x + x + y - y = 12$

$3x = 12$

Paso 3 [Resolver para x]:

$x = \displaystyle\frac{12}{3} = 4$

Paso 4 [Sustituir para y]: Usar $x = 4$ en ecuación (2):

$4 - y = 2$

$y = 4 - 2 = 2$

Paso 5 [Verificar]: (ya verificado arriba) ✓

MÉTODO 3: Igualación

¿Cuándo usar? Cuando ambas ecuaciones permiten despejar fácilmente la misma variable

Paso 1 [Despejar x en ambas]:

De (1): $2x + y = 10 \quad \Rightarrow \quad 2x = 10 - y \quad \Rightarrow \quad x = \displaystyle\frac{10 - y}{2}$

De (2): $x - y = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 + y$

Paso 2 [Igualar expresiones]: Como ambas expresiones valen $x$:

$\displaystyle\frac{10 - y}{2} = 2 + y$

Paso 3 [Resolver para y]: Multiplicar ambos lados por 2:

$10 - y = 2(2 + y)$

$10 - y = 4 + 2y$

$10 - 4 = 2y + y$

$6 = 3y$

$y = 2$

Paso 4 [Calcular x]: Usar $y = 2$ en cualquier expresión despejada:

$x = 2 + y = 2 + 2 = 4$

Paso 5 [Verificar]: (ya verificado arriba) ✓

✅ Solución (por los 3 métodos): $(x, y) = (4, 2)$

Los tres métodos son equivalentes. Elegir según conveniencia del sistema.

🎯 Estrategia didáctica para docente:

Comparar los 3 métodos con el mismo sistema ayuda a estudiantes a:

  • • Entender que todos conducen a la misma solución
  • • Elegir el método más eficiente según coeficientes
  • • Verificar resultados usando un método alternativo

Regla práctica: Coef. ±1 → Sustitución | Coef. opuestos → Eliminación | Ambos despejables → Igualación

🔍 Casos Especiales: Sistemas sin Solución o con Infinitas Soluciones

CASO 1: Sin Solución (Rectas Paralelas)

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Análisis algebraico: Restando ambas ecuaciones:

$(2x + y) - (2x + y) = 5 - 8$

$0 = -3$ ❌ CONTRADICCIÓN

Interpretación geométrica:

• Ambas rectas tienen la misma pendiente ($m = -2$)

• Pero diferente intercepto (5 vs 8)

• Por tanto son paralelas → No se intersectan → Sin solución

Conclusión: El sistema es inconsistente

CASO 2: Infinitas Soluciones (Rectas Coincidentes)

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ 4x + 2y = 12 \end{cases}$$

Análisis algebraico: Dividir segunda ecuación por 2:

$4x + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 6$

Obtenemos exactamente la primera ecuación → Son la misma recta

Interpretación geométrica:

• Segunda ecuación es múltiplo de la primera (×2)

• Representan la misma recta (coincidentes)

• Todos los puntos de la recta son soluciones → Infinitas soluciones

Conjunto solución:

$\{(x, y) \mid 2x + y = 6\}$ o parametrizado: $(x, 6-2x)$ con $x \in \mathbb{R}$

Ejemplos: $(0, 6)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 0)$, etc.

Conclusión: El sistema es dependiente

CASO 3: Solución Única (Rectas Secantes)

Sistema: (nuestro ejemplo anterior)

$$\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

Interpretación geométrica:

• Pendientes diferentes: $m_1 = -2$, $m_2 = 1$

• Las rectas se intersectan en un punto

• Solución única: $(4, 2)$

Conclusión: El sistema es consistente e independiente (el caso normal)

📊 Resumen Visual:

Caso Rectas Pendientes Soluciones
Solución única Secantes (se cruzan) Diferentes 1 punto
Sin solución Paralelas Iguales Ninguna (0)
Infinitas soluciones Coincidentes (misma recta) Iguales Toda la recta (∞)

💡 Problema Aplicado Nivel PAES: Mezclas

Contexto: Un laboratorio necesita 100 litros de una solución de alcohol al 70%

Datos disponibles:

  • • Solución A: Alcohol al 80% (más concentrado)
  • • Solución B: Alcohol al 60% (menos concentrado)

Pregunta: ¿Cuántos litros de cada solución se deben mezclar?

Desarrollo:

Paso 1 [Definir variables]:

• $x$ = litros de solución A (80%)

• $y$ = litros de solución B (60%)

Paso 2 [Ecuación de volumen total]:

$x + y = 100$ ... (1)

El volumen total debe ser 100 litros

Paso 3 [Ecuación de alcohol puro]:

La cantidad de alcohol puro en cada solución:

• De A: $0.80x$ litros de alcohol puro

• De B: $0.60y$ litros de alcohol puro

• En mezcla: $0.70 \times 100 = 70$ litros de alcohol puro

Por tanto: $0.80x + 0.60y = 70$ ... (2)

Paso 4 [Sistema formado]:

$$\begin{cases} x + y = 100 \\ 0.80x + 0.60y = 70 \end{cases}$$

Paso 5 [Resolver por sustitución]:

De (1): $y = 100 - x$

Sustituir en (2):

$0.80x + 0.60(100 - x) = 70$

$0.80x + 60 - 0.60x = 70$

$0.20x = 10$

$x = \displaystyle\frac{10}{0.20} = 50$ litros

Entonces: $y = 100 - 50 = 50$ litros

Paso 6 [Verificar]:

Volumen total: $50 + 50 = 100$ ✓

Alcohol puro: $0.80(50) + 0.60(50) = 40 + 30 = 70$ ✓

Concentración: $\displaystyle\frac{70}{100} = 0.70 = 70\%$ ✓

Respuesta:

• 50 litros de solución A (80%)

• 50 litros de solución B (60%)

💡 Error común de estudiantes:

Usar concentraciones en vez de cantidades absolutas:

❌ Ecuación incorrecta: $x + y = 70$ (confunde volumen total con alcohol puro)

✓ Ecuación correcta: $0.80x + 0.60y = 70$ (alcohol puro = concentración × volumen)

🎯 Estrategia didáctica para docente:

Problemas de mezclas requieren dos ecuaciones independientes:

  • 1. Ecuación de volumen/cantidad total (suma directa)
  • 2. Ecuación de componente específico (concentración × cantidad)

Crear tabla ayuda a visualizar:

Solución Litros Concentración Alcohol puro
A (80%) $x$ 0.80 $0.80x$
B (60%) $y$ 0.60 $0.60y$
Mezcla (70%) 100 0.70 70

📚 Conexión curricular: Problema típico PAES M2 (Nivel 3: Modelamiento y resolución de problemas). Aparece en contextos: mezclas químicas, aleaciones metálicas, inversiones financieras, movimientos con velocidades diferentes.

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Texto escolar Cap. 5 "Sistemas de ecuaciones lineales" (págs. 165-210) — Métodos de resolución, interpretación geométrica

2° Medio: Cap. 1 "Ecuaciones y sistemas" (págs. 8-44) — Aplicaciones, casos especiales, sistemas 3×3

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Resolución de sistemas 2×2 por cualquier método (Nivel 2), identificar número de soluciones según parámetros"

💡 Tipo PAES M2: "Modelamiento de situaciones: mezclas, movimientos, inversiones, producción (Nivel 3)"

2️⃣ DOMINIO 2: ÁLGEBRA (20%)

📈 2.1 Funciones

📖 Definición Formal de Función

Una función $f: A \to B$ es una relación que asigna a cada elemento $x \in A$ (dominio) exactamente un elemento $y \in B$ (codominio), denotado $y = f(x)$.

Notación: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$

Conceptos clave:

  • • Dominio $\text{Dom}(f)$: Conjunto de valores $x$ para los cuales $f(x)$ está definido
  • • Recorrido $\text{Rec}(f)$ o $\text{Ran}(f)$: Conjunto de valores $y$ que la función alcanza: $\{f(x) \mid x \in \text{Dom}(f)\}$
  • • Inyectividad: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ (cada salida tiene una única entrada)
  • • Sobreyectividad: Para todo $y \in B$, existe $x \in A$ tal que $f(x) = y$ (codominio = recorrido)
  • • Biyectividad: Inyectiva Y sobreyectiva (tiene inversa)

📐 1. Función Lineal/Afín

Forma general: $f(x) = mx + n$ donde $m$ es la pendiente y $n$ es el intercepto con el eje $y$

Propiedades de f(x) = mx + n

  • • Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$
  • • Recorrido: $\text{Rec}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$
  • • Monotonía:
    • - Si $m > 0$: función creciente en $\mathbb{R}$
    • - Si $m < 0$: función decreciente en $\mathbb{R}$
    • - Si $m = 0$: función constante $f(x) = n$
  • • Intersección eje $y$: $(0, n)$
  • • Intersección eje $x$ (raíz): $x = -\displaystyle\frac{n}{m}$ (si $m \neq 0$)
  • • Gráfica: Recta con pendiente $m = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$

💡 Ejemplo Completo: $f(x) = 3x - 6$

Paso 1 [Identificar parámetros]: $m = 3$ (pendiente), $n = -6$ (intercepto)

Paso 2 [Dominio y recorrido]: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, $\text{Rec}(f) = \mathbb{R}$

Paso 3 [Monotonía]: Como $m = 3 > 0$, la función es estrictamente creciente

Demostración: Si $x_1 < x_2$, entonces $f(x_1) = 3x_1 - 6 < 3x_2 - 6 = f(x_2)$ ✓

Paso 4 [Intersección eje $y$]: $f(0) = 3(0) - 6 = -6$ → Punto $(0, -6)$

Paso 5 [Intersección eje $x$]: $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ → Punto $(2, 0)$

Paso 6 [Gráfica]: Recta que pasa por $(0,-6)$ y $(2,0)$, sube 3 unidades por cada 1 unidad horizontal

💡 Para docente: Enfatizar que pendiente $m=3$ significa "por cada paso a la derecha, subo 3"

📊 2. Función Cuadrática

Forma general: $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$

Forma canónica (vértice): $f(x) = a(x - h)^2 + k$ donde $(h,k)$ es el vértice

Propiedades de f(x) = ax² + bx + c

  • • Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$
  • • Recorrido:
    • - Si $a > 0$ (parábola abre hacia arriba): $\text{Rec}(f) = [k, +\infty)$ donde $k = f(h)$ es el valor mínimo
    • - Si $a < 0$ (parábola abre hacia abajo): $\text{Rec}(f) = (-\infty, k]$ donde $k$ es el valor máximo
  • • Vértice: $h = -\displaystyle\frac{b}{2a}$, $k = f(h) = c - \displaystyle\frac{b^2}{4a}$
  • • Eje de simetría: $x = h = -\displaystyle\frac{b}{2a}$
  • • Monotonía:
    • - Si $a > 0$: decreciente en $(-\infty, h)$, creciente en $(h, +\infty)$
    • - Si $a < 0$: creciente en $(-\infty, h)$, decreciente en $(h, +\infty)$
  • • Raíces (intersección eje $x$): Usando discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$:
    • - $\Delta > 0$: 2 raíces reales distintas $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
    • - $\Delta = 0$: 1 raíz real doble $x = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ (toca el eje)
    • - $\Delta < 0$: No tiene raíces reales (no corta el eje $x$)

💡 Ejemplo Exhaustivo: $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$

Paso 1 [Parámetros]: $a = -2$, $b = 8$, $c = -6$

Paso 2 [Orientación]: Como $a = -2 < 0$, la parábola abre hacia abajo (tiene valor máximo)

Paso 3 [Vértice]:

$h = -\displaystyle\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$

Vértice: $(2, 2)$ (punto máximo)

Paso 4 [Dominio y recorrido]:

$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$

$\text{Rec}(f) = (-\infty, 2]$ (no supera $y=2$)

Paso 5 [Monotonía]:

Creciente en $(-\infty, 2)$, decreciente en $(2, +\infty)$

Paso 6 [Raíces]:

$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-2)(-6) = 64 - 48 = 16 > 0$ → 2 raíces reales

$x = \displaystyle\frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2(-2)} = \frac{-8 \pm 4}{-4}$

$x_1 = \displaystyle\frac{-8 + 4}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$

$x_2 = \displaystyle\frac{-8 - 4}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$

Raíces: $x = 1$ y $x = 3$

Paso 7 [Intersección eje $y$]: $f(0) = -6$ → Punto $(0, -6)$

Paso 8 [Gráfica]:

• Parábola abre hacia abajo

• Vértice (máximo): $(2, 2)$

• Corta eje $x$: $(1, 0)$ y $(3, 0)$

• Corta eje $y$: $(0, -6)$

• Eje simetría: $x = 2$

📊 GRÁFICA: $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$

y ▲ x ► 0 1 2 3 4 1 2 -1 -6 x = 2 V(2, 2) máximo (1, 0) (3, 0) (0, -6) ↓ ↓ ↑ Cóncava

CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA

  • ✓ Parábola CÓNCAVA (abre ↓) porque a = -2 < 0
  • ✓ Máximo en V(2, 2) — punto más alto de la función
  • ✓ Raíces: x = 1 y x = 3 (donde toca el eje x)
  • ✓ Intersección con eje y: (0, -6)
  • ✓ Eje de simetría: x = 2 (línea punteada amarilla)
  • ✓ Recorrido: (-∞, 2] — nunca supera y = 2

🎯 Estrategia didáctica:

Graficar estos 5 puntos clave permite dibujar la parábola completa. Enfatizar simetría respecto a $x=2$.

√ 3. Función Raíz Cuadrada

Forma general: $f(x) = \sqrt{x - h} + k$ (raíz principal, positiva)

Propiedades de f(x) = √(x - h) + k

  • • Restricción: El radicando debe ser $\geq 0$: $x - h \geq 0 \Rightarrow x \geq h$
  • • Dominio: $\text{Dom}(f) = [h, +\infty)$
  • • Recorrido: $\text{Rec}(f) = [k, +\infty)$ (raíz principal siempre $\geq 0$)
  • • Monotonía: Estrictamente creciente en todo su dominio $[h, +\infty)$
  • • Punto inicial: $(h, k)$ (el "codo" de la curva)
  • • Gráfica: Mitad superior de parábola horizontal, crece más lento que función lineal
  • • Relación con cuadrática: $f(x) = \sqrt{x}$ es la inversa de $g(x) = x^2$ (con $x \geq 0$)

💡 Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x - 3} + 1$

Paso 1 [Restricción]: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

Paso 2 [Dominio]: $\text{Dom}(f) = [3, +\infty)$

Paso 3 [Recorrido]: Como $\sqrt{x-3} \geq 0$, entonces $f(x) = \sqrt{x-3} + 1 \geq 1$ → $\text{Rec}(f) = [1, +\infty)$

Paso 4 [Punto inicial]: $f(3) = \sqrt{3-3} + 1 = 0 + 1 = 1$ → Punto $(3, 1)$ (inicio de la curva)

Paso 5 [Puntos adicionales]:

$f(4) = \sqrt{1} + 1 = 2$ → $(4, 2)$

$f(7) = \sqrt{4} + 1 = 3$ → $(7, 3)$

$f(12) = \sqrt{9} + 1 = 4$ → $(12, 4)$

Paso 6 [Monotonía]: Creciente en $[3, +\infty)$

Demostración: Derivada $f'(x) = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-3}} > 0$ para $x > 3$ ✓

💡 Para docente: Mostrar que crece más lento que recta: de $x=3$ a $x=12$ (9 unidades), $y$ solo sube de 1 a 4 (3 unidades)

🔄 Transformaciones de Funciones: f(x - h) + k

Dada una función $f(x)$, la transformación $g(x) = af(bx - h) + k$ produce:

Parámetro Efecto Ejemplo
$h$ (horizontal) Desplaza $h$ unidades a la derecha $x^2 \to (x-2)^2$
$k$ (vertical) Desplaza $k$ unidades hacia arriba $x^2 \to x^2 + 3$
$a$ (amplitud) Estira verticalmente por $|a|$, refleja si $a<0$ $x^2 \to 2x^2$ o $-x^2$
$b$ (compresión) Comprime horizontalmente por $|b|$, refleja si $b<0$ $x^2 \to (2x)^2$

💡 Ejemplo: Transformar $f(x) = x^2$ en 4 pasos

Función original: $f(x) = x^2$ (parábola vértice en origen)

Transformación 1: Desplazamiento horizontal

$g_1(x) = (x - 3)^2$ → Desplaza 3 unidades a la derecha

Vértice: $(0,0) \to (3,0)$

Transformación 2: Desplazamiento vertical

$g_2(x) = x^2 + 2$ → Desplaza 2 unidades arriba

Vértice: $(0,0) \to (0,2)$

Transformación 3: Reflexión vertical

$g_3(x) = -x^2$ → Refleja respecto al eje $x$ (abre hacia abajo)

Vértice sigue en $(0,0)$ pero ahora es máximo, no mínimo

Transformación 4: Combinada

$g_4(x) = -2(x - 1)^2 + 3$

• Desplaza 1 a la derecha ($h=1$)

• Desplaza 3 arriba ($k=3$)

• Refleja y estira verticalmente por 2 ($a=-2$)

Vértice final: $(1, 3)$ (máximo)

🎯 Estrategia didáctica:

Aplicar transformaciones de adentro hacia afuera: primero horizontal ($x-h$), luego vertical ($+k$), finalmente amplitud ($a$)

⚡ Composición de Funciones

Definición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — Aplicar $g$ primero, luego $f$ al resultado

Dominio de $f \circ g$: $\{x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \in \text{Dom}(f)\}$

💡 Ejemplo Progresivo 1 (Básico): Evaluar composición

Dadas: $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$

Calcular: $(f \circ g)(4)$

Paso 1 [Aplicar $g$ primero]: $g(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$

Paso 2 [Aplicar $f$ al resultado]: $f(5) = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Respuesta: $(f \circ g)(4) = 26$

Calcular también: $(g \circ f)(4)$ (orden inverso)

Paso 1: $f(4) = 4^2 + 1 = 17$

Paso 2: $g(17) = 2(17) - 3 = 34 - 3 = 31$

Respuesta: $(g \circ f)(4) = 31$

⚠️ Observación: $26 \neq 31$ → La composición NO es conmutativa: $f \circ g \neq g \circ f$

💡 Ejemplo Progresivo 2 (Intermedio): Expresión algebraica

Dadas: $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 4$

Encontrar: $(f \circ g)(x)$ en forma simplificada

Paso 1 [Sustituir $g(x)$ en $f$]:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 4) = \sqrt{x^2 - 4}$

Paso 2 [Determinar dominio]: Necesitamos $x^2 - 4 \geq 0$

$x^2 \geq 4$

$|x| \geq 2$

$x \leq -2$ o $x \geq 2$

Respuesta: $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ con $\text{Dom}(f \circ g) = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

💡 Para docente: Enfatizar que dominio de composición NO es simplemente $\text{Dom}(g)$, sino que depende de ambas funciones

💡 Ejemplo Progresivo 3 (Avanzado): Composición triple

Dadas: $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$, $h(x) = x^2$

Calcular: $(f \circ g \circ h)(x)$ (aplicar $h$, luego $g$, luego $f$)

Paso 1 [Aplicar $h$]: $h(x) = x^2$

Paso 2 [Aplicar $g$ al resultado]: $g(h(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$

Paso 3 [Aplicar $f$ al resultado final]: $f(g(h(x))) = f(x^2 + 3) = 2(x^2 + 3) = 2x^2 + 6$

Respuesta: $(f \circ g \circ h)(x) = 2x^2 + 6$

Verificación con valor específico: $(f \circ g \circ h)(2)$

$h(2) = 4$

$g(4) = 7$

$f(7) = 14$

Usando fórmula: $2(2)^2 + 6 = 8 + 6 = 14$ ✓

🔄 Función Inversa

Definición: $f^{-1}$ es la función inversa de $f$ si y solo si $f(f^{-1}(x)) = x$ y $f^{-1}(f(x)) = x$

Condición de existencia: $f$ debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)

Método para Encontrar f⁻¹(x)

  1. Paso 1: Verificar que $f$ es inyectiva (horizontal line test: cada recta horizontal corta máximo 1 vez)
  2. Paso 2: Escribir $y = f(x)$
  3. Paso 3: Intercambiar $x$ e $y$: $x = f(y)$
  4. Paso 4: Despejar $y$ en términos de $x$
  5. Paso 5: El resultado es $y = f^{-1}(x)$
  6. Paso 6: Verificar: $\text{Dom}(f^{-1}) = \text{Rec}(f)$ y $\text{Rec}(f^{-1}) = \text{Dom}(f)$
  7. Paso 7: Verificar gráficamente: $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la recta $y = x$

💡 Ejemplo Completo: Inversa de $f(x) = \displaystyle\frac{2x + 3}{x - 1}$

Paso 1 [Verificar inyectividad]: Función racional con asíntota oblicua, es inyectiva ✓

Paso 2 [Escribir como ecuación]: $y = \displaystyle\frac{2x + 3}{x - 1}$

Paso 3 [Intercambiar $x$ e $y$]: $x = \displaystyle\frac{2y + 3}{y - 1}$

Paso 4 [Despejar $y$]:

$x(y - 1) = 2y + 3$ (multiplicar ambos lados por denominador)

$xy - x = 2y + 3$

$xy - 2y = x + 3$ (agrupar términos con $y$)

$y(x - 2) = x + 3$ (factorizar)

$y = \displaystyle\frac{x + 3}{x - 2}$

Paso 5 [Resultado]: $f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{x + 3}{x - 2}$

Paso 6 [Verificar dominios]:

$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ (denominador $x-1 \neq 0$)

$\text{Rec}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ (asíntota horizontal $y=2$)

$\text{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ✓ (coincide con $\text{Rec}(f)$)

Paso 7 [Verificar composición]:

$(f \circ f^{-1})(x) = f\left(\displaystyle\frac{x+3}{x-2}\right) = \displaystyle\frac{2 \cdot \frac{x+3}{x-2} + 3}{\frac{x+3}{x-2} - 1}$

Simplificando: $= \displaystyle\frac{2(x+3) + 3(x-2)}{(x+3) - (x-2)} = \frac{2x+6+3x-6}{5} \cdot \frac{5}{1} = x$ ✓

💡 Observación curiosa:

En este caso, $f^{-1}$ tiene la misma forma que $f$ pero con coeficientes distintos. No siempre ocurre.

⚠️ ERRORES COMUNES CON FUNCIONES

Error 1: Confundir $f(x+h)$ con $f(x) + f(h)$ ❌

Contraejemplo: $f(x) = x^2$, entonces $f(2+3) = f(5) = 25$

Pero $f(2) + f(3) = 4 + 9 = 13 \neq 25$ ❌

Correcto: Solo funciones lineales cumplen $f(x+y) = f(x) + f(y)$

Error 2: Pensar que $f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{1}{f(x)}$ ❌

Correcto: $f^{-1}$ es la función inversa, NO el recíproco

Ejemplo: Si $f(x) = 2x+1$, entonces $f^{-1}(x) = \displaystyle\frac{x-1}{2}$

Pero $\displaystyle\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x+1}$ (función diferente)

Error 3: Olvidar restricción de dominio en composición ❌

Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x-4$

$(f \circ g)(x) = \sqrt{x-4}$ requiere $x \geq 4$, NO $x \geq 0$

Regla: $\text{Dom}(f \circ g) = \{x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \in \text{Dom}(f)\}$

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Texto escolar Cap. 3 "Función lineal y afín" (págs. 85-130) — Pendiente, gráficas, aplicaciones

2° Medio: Cap. 4 "Función cuadrática" (págs. 125-175) — Vértice, discriminante, parábola, máximos/mínimos

3° Medio: Cap. 3 "Funciones: raíz, inversa, composición" (págs. 95-145) — Transformaciones, dominio/recorrido, biyectividad

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Dominio/recorrido (Nivel 2), composición evaluada, transformaciones gráficas, función inversa método algebraico"

💡 Tipo PAES M2: "Modelamiento con funciones (crecimiento, trayectorias), optimización con cuadrática, análisis gráfico completo (Nivel 3)"

⚖️ 2.2 Inecuaciones

📖 Definición de Inecuación

Una inecuación es una desigualdad matemática que contiene una o más variables. La solución es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad.

Símbolos: $<$ (menor), $>$ (mayor), $\leq$ (menor o igual), $\geq$ (mayor o igual)

Propiedades clave:

  • • Sumar/restar mismo número en ambos lados: desigualdad se mantiene
  • • Multiplicar/dividir por número positivo: desigualdad se mantiene
  • • Multiplicar/dividir por número negativo: desigualdad se invierte ⚠️

📊 Método de la Tabla de Signos (Fundamental)

¿Cuándo usar? Inecuaciones cuadráticas, fraccionarias, polinómicas de grado superior

Pasos del Método Tabla de Signos

  1. Paso 1 [Igualar a cero]: Mover todos los términos a un lado: $f(x) > 0$ o $f(x) < 0$
  2. Paso 2 [Factorizar]: Expresar como producto de factores: $(x-a)(x-b)... > 0$
  3. Paso 3 [Puntos críticos]: Valores donde $f(x) = 0$ o $f(x)$ no está definida (raíces y asíntotas)
  4. Paso 4 [Dividir recta]: Los puntos críticos dividen $\mathbb{R}$ en intervalos
    ¿Por qué? En cada intervalo, $f(x)$ mantiene su signo (no puede cambiar sin pasar por cero)
  5. Paso 5 [Evaluar signos]: Elegir un valor "test" en cada intervalo y evaluar signo de $f(x)$
  6. Paso 6 [Construir tabla]: Organizar signos de cada factor y del producto
  7. Paso 7 [Seleccionar intervalos]: Elegir donde $f(x)$ cumple la desigualdad original
  8. Paso 8 [Escribir solución]: Unión de intervalos en notación formal

💡 Ejemplo Exhaustivo: Inecuación Cuadrática $x^2 - 5x + 6 > 0$

Resolver: $x^2 - 5x + 6 > 0$

Paso 1 [Ya igualado a cero]: $x^2 - 5x + 6 > 0$ ✓

Paso 2 [Factorizar]:

Buscar dos números que multiplican a 6 y suman -5: son -2 y -3

$(x - 2)(x - 3) > 0$

Paso 3 [Puntos críticos]:

$(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$

$(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3$

Puntos críticos: $x = 2$ y $x = 3$

Paso 4 [Dividir recta numérica]:

Los puntos 2 y 3 dividen $\mathbb{R}$ en 3 intervalos:

• Intervalo I: $(-\infty, 2)$

• Intervalo II: $(2, 3)$

• Intervalo III: $(3, +\infty)$

Paso 5 [Evaluar signos con valores test]:

Intervalo I: $x < 2$ → Probar $x = 0$

$(0 - 2)(0 - 3) = (-2)(-3) = 6 > 0$ ✓ POSITIVO

Intervalo II: $2 < x < 3$ → Probar $x = 2.5$

$(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗ NEGATIVO

Intervalo III: $x > 3$ → Probar $x = 4$

$(4 - 2)(4 - 3) = (2)(1) = 2 > 0$ ✓ POSITIVO

Paso 6 [Tabla de signos organizada]:

Intervalo $x < 2$ $x = 2$ $2 < x < 3$ $x = 3$ $x > 3$
$(x-2)$ − 0 + + +
$(x-3)$ − − − 0 +
$(x-2)(x-3)$ + 0 − 0 +

Regla: (−)(−) = (+), (−)(+) = (−), (+)(+) = (+)

Paso 7 [Seleccionar intervalos positivos]:

Queremos $(x-2)(x-3) > 0$ (estrictamente positivo)

Según tabla: intervalos donde producto es +

• $x < 2$: ✓ Cumple

• $x = 2$: ✗ Es cero, no cumple $> 0$

• $2 < x < 3$: ✗ Es negativo

• $x = 3$: ✗ Es cero, no cumple $> 0$

• $x > 3$: ✓ Cumple

Paso 8 [Solución final]:

Solución: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

O en notación alternativa: $x < 2$ o $x > 3$

🎯 Estrategia didáctica:

Visualizar en recta numérica con zonas sombreadas ayuda a estudiantes:

────●═════●────

2 3

✓✓✓✗✗✗✗✗✗✓✓✓

Círculos vacíos (○) para $<$ o $>$, llenos (●) para $\leq$ o $\geq$

💡 Error común de estudiantes:

Confundir solución de ecuación con solución de inecuación:

• Ecuación $x^2-5x+6=0$ → Solución: $x=2$ o $x=3$ (2 puntos)

• Inecuación $x^2-5x+6>0$ → Solución: $x<2$ o $x>3$ (infinitos valores)

💡 Inecuación Fraccionaria: $\displaystyle\frac{x-1}{x+2} > 0$

Resolver: $\displaystyle\frac{x-1}{x+2} > 0$

Paso 1 [Restricción de dominio]:

⚠️ Denominador NO puede ser cero: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Paso 2 [Puntos críticos]:

• Numerador cero: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (fracción = 0)

• Denominador cero: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ (fracción indefinida)

Puntos críticos: $x = -2$ y $x = 1$

Paso 3 [Dividir recta numérica]:

• Intervalo I: $(-\infty, -2)$

• Intervalo II: $(-2, 1)$

• Intervalo III: $(1, +\infty)$

Paso 4 [Evaluar signos]:

Intervalo I: $x < -2$ → Probar $x = -3$

$\displaystyle\frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$ ✓ POSITIVO

Intervalo II: $-2 < x < 1$ → Probar $x = 0$

$\displaystyle\frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} = -0.5 < 0$ ✗ NEGATIVO

Intervalo III: $x > 1$ → Probar $x = 2$

$\displaystyle\frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} = 0.25 > 0$ ✓ POSITIVO

Paso 5 [Tabla de signos]:

Factor $x < -2$ $x = -2$ $-2 < x < 1$ $x = 1$ $x > 1$
$(x-1)$ (num) − − − 0 +
$(x+2)$ (den) − ✗ + + +
Cociente + ✗ − 0 +

✗ indica que el valor NO está en el dominio (denominador cero)

Paso 6 [Seleccionar intervalos positivos]:

Queremos cociente $> 0$ (estrictamente positivo)

• $x < -2$: ✓ Cumple

• $x = -2$: ✗ No está en dominio

• $-2 < x < 1$: ✗ Es negativo

• $x = 1$: ✗ Es cero, no cumple $> 0$

• $x > 1$: ✓ Cumple

Solución: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$

O en notación: $x < -2$ o $x > 1$

💡 Error común de estudiantes:

Multiplicar ambos lados por $(x+2)$ sin considerar su signo:

❌ Incorrecto: $(x-1) > 0$ siempre

✓ Correcto: Usar tabla de signos sin multiplicar (evita casos)

Por qué: Si $(x+2) < 0$, al multiplicar la desigualdad se invierte

💡 Inecuación con Valor Absoluto: $|x - 3| < 2$

Resolver: $|x - 3| < 2$

MÉTODO 1: Algebraico (Propiedad)

Paso 1 [Recordar propiedad]:

$|A| < B \Longleftrightarrow -B < A < B$ (si $B > 0$)

Paso 2 [Aplicar propiedad]:

$|x - 3| < 2 \Longleftrightarrow -2 < x - 3 < 2$

Paso 3 [Despejar $x$]:

Sumar 3 en toda la desigualdad:

$-2 + 3 < x - 3 + 3 < 2 + 3$

$1 < x < 5$

Solución (Método 1): $x \in (1, 5)$

MÉTODO 2: Geométrico (Distancia)

Paso 1 [Interpretar valor absoluto]:

$|x - 3|$ representa la distancia de $x$ al punto 3 en la recta numérica

Paso 2 [Reformular pregunta]:

$|x - 3| < 2$ significa: "¿Qué valores $x$ están a menos de 2 unidades del punto 3?"

Paso 3 [Visualizar en recta]:

───○═════●═════○───

1 3 5

←2 u→ ←2 u→

• Centro: $x = 3$

• Distancia 2 a izquierda: $3 - 2 = 1$

• Distancia 2 a derecha: $3 + 2 = 5$

Intervalo abierto porque distancia debe ser menor (<), no igual

Solución (Método 2): $x \in (1, 5)$

Todos los puntos que distan menos de 2 unidades del centro 3

🎯 Estrategia didáctica:

Método geométrico ayuda a intuición. Conectar con:

  • • $|x - a| < r$ → "Bola abierta" de radio $r$ centrada en $a$
  • • $|x - a| \leq r$ → "Bola cerrada" (incluye borde)
  • • $|x - a| > r$ → "Exterior" de la bola

⚠️ Caso especial: $|x - 3| > 2$

Si la desigualdad fuera $|x-3| > 2$ (mayor):

• Algebraico: $x-3 < -2$ o $x-3 > 2$ → $x < 1$ o $x > 5$

• Geométrico: puntos a MÁS de 2 unidades del 3

• Solución: $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$ (dos intervalos separados)

📊 Representación Gráfica de Soluciones

Visualización en recta numérica:

Ejemplo 1: $x^2 - 5x + 6 > 0$ → $x < 2$ o $x > 3$

═══════○─────────○═══════

2 3

✓✓✓✓✓✓✗✗✗✗✗✗✗✓✓✓✓✓✓

○ = círculo abierto (no incluye punto), ═ = zona solución

Ejemplo 2: $\displaystyle\frac{x-1}{x+2} > 0$ → $x < -2$ o $x > 1$

═══════✗─────────○═══════

-2 1

✓✓✓✓✓✓◼✗✗✗✗✗✗✓✓✓✓✓

✗ = asíntota vertical (no existe función en $x=-2$)

Ejemplo 3: $|x - 3| < 2$ → $1 < x < 5$

───────○═══════○───────

1 3 5

✗✗✗✗✗✗✓✓✓✓✓✓✗✗✗✗✗✗

Intervalo continuo centrado en 3

⚠️ ERRORES COMUNES CON INECUACIONES

Error 1: Multiplicar/dividir por variable sin considerar signo ❌

Ejemplo: Resolver $x(x-2) > 0$ multiplicando por $1/x$

❌ Incorrecto: "$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$" (falta caso $x < 0$)

Correcto: Usar tabla de signos sin multiplicar por variable

Error 2: Invertir desigualdad al multiplicar por negativo ❌

Ejemplo: $-2x < 6$

❌ Incorrecto: "$x < -3$" (olvidó invertir)

✓ Correcto: "$x > -3$" (al dividir por -2, desigualdad se invierte)

Error 3: Incluir puntos donde denominador es cero ❌

Ejemplo: $\displaystyle\frac{1}{x} \leq 2$

❌ Incorrecto: "$x \geq \frac{1}{2}$" (olvidó que $x \neq 0$)

✓ Correcto: "$x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$ con $x \neq 0$" o resolver por casos

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Texto escolar Cap. 6 "Inecuaciones lineales" (págs. 215-245) — Propiedades, resolución, aplicaciones

2° Medio: Cap. 5 "Inecuaciones cuadráticas" (págs. 180-220) — Método gráfico, tabla de signos, valor absoluto

3° Medio: Cap. 4 "Inecuaciones fraccionarias y sistemas" (págs. 150-185) — Restricciones, racionales, aplicaciones

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Resolución inecuaciones cuadráticas/fraccionarias con tabla signos (Nivel 2), intervalos solución, valor absoluto"

💡 Tipo PAES M2: "Modelamiento con restricciones (optimización), sistemas de inecuaciones (regiones factibles), programación lineal básica (Nivel 3)"

3️⃣ DOMINIO 3: GEOMETRÍA (20%)

⭕ 3.1 Ángulos en la Circunferencia

📜 Contexto Histórico: La Circunferencia en la Geometría

🏛️ Historia de la Circunferencia

La circunferencia ha fascinado a matemáticos desde la antigüedad. Los griegos (Tales de Mileto ~600 a.C., Euclides ~300 a.C.) estudiaron sus propiedades geométricas profundamente.

Aporte de Tales: Descubrió que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto (90°)

Aporte de Euclides: Demostró el teorema del ángulo inscrito en "Los Elementos" (Libro III)

Importancia moderna: Fundamento para trigonometría, astronomía, navegación, diseño mecánico

📖 Definiciones Formales de la Circunferencia

⭕ ¿Qué es una Circunferencia?

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro).

Definición formal: $\{P \in \mathbb{R}^2 : d(P, O) = r\}$ donde O es centro, r es radio

🔍 Elementos de la Circunferencia (con diagrama)

⭕ ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Centro O A (punto en circunferencia) radio r B C Diámetro d = 2r ▲ (pasa por O) ▲ D E cuerda ⌢ Arco 🍕 Sector

ELEMENTOS CLAVE DE LA CIRCUNFERENCIA

  • • Centro O: punto fijo equidistante de todos los puntos
  • • Radio r: distancia O → cualquier punto de la circunferencia
  • • Diámetro d = 2r: cuerda que pasa por el centro O
  • • Cuerda: segmento entre 2 puntos (ej: DE, no pasa por O)
  • • Arco: porción curva entre 2 puntos
  • • Sector: región entre 2 radios + arco 🍕
  • • Centro (O): Punto fijo equidistante de todos los puntos de la circunferencia
  • • Radio (r): Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios son iguales.
  • • Diámetro (d): Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. $d = 2r$
  • • Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia (no necesariamente pasa por O)
  • • Arco: Porción de la circunferencia entre dos puntos. Se mide en grados o radianes.
  • • Sector circular: Región entre dos radios y el arco que los une (como rebanada pizza 🍕)

📐 Tipos de Ángulos en la Circunferencia

1️⃣ Ángulo Central

Definición: Ángulo cuyo vértice está en el centro O de la circunferencia y cuyos lados son dos radios.

📐 ÁNGULO CENTRAL

Centro O (vértice del ángulo) A punto en circunferencia B punto en circunferencia radio r radio r Arco AB α ∠AOB = α (ángulo central)

PROPIEDADES DEL ÁNGULO CENTRAL

  • ✓ Vértice en el CENTRO O
  • ✓ Lados = radios OA y OB
  • ✓ Subtiende arco AB
  • ✓ Medida del ángulo = Medida del arco
  • ✓ Ejemplo: si α = 60° → arco AB = 60°

💡 Propiedad clave:

El ángulo central mide EXACTAMENTE lo mismo que el arco que subtiende.

Si ∠AOB = 60°, entonces el arco AB también mide 60° (convención: arco menor)

2️⃣ Ángulo Inscrito

Definición: Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia (no en el centro) y cuyos lados son dos cuerdas que parten del vértice.

📐 ÁNGULO INSCRITO

Centro O A ← punto en circunferencia P ▲ Vértice en circunferencia B ▲ punto circunferencia cuerda PB Arco AB β ∠APB = β (ángulo inscrito)

PROPIEDADES DEL ÁNGULO INSCRITO

  • ✓ Vértice P en CIRCUNFERENCIA (NO en el centro)
  • ✓ Lados = cuerdas PA y PB
  • ✓ Subtiende arco AB (igual que el ángulo central)
  • ✓ Relación fundamental: β = α/2 (mitad del ángulo central)
  • ✓ Ejemplo: si α = 80° → β = 40°

💡 Propiedad fundamental (Teorema del Ángulo Inscrito):

Ángulo inscrito = (Ángulo central) / 2

Si ambos subtienden el mismo arco

📐 Demostración: Ángulo Inscrito = Ángulo Central / 2

🔬 Demostración Geométrica (3 Casos)

La demostración depende de dónde esté el centro O respecto al ángulo inscrito. Hay 3 casos:

CASO 1: Centro O está en uno de los lados del ángulo inscrito

Este es el caso más simple y la base de los demás.

Dado: Ángulo inscrito ∠APB donde PO es un lado (P, O, B colineales)

Probar: ∠APB = (∠AOB) / 2

Demostración:

  1. 1. OA = OP = radios → Triángulo OAP es isósceles
  2. 2. En triángulo isósceles: ∠OAP = ∠OPA (ángulos base iguales)
  3. 3. Llamemos α = ∠OPA = ∠OAP
  4. 4. ∠AOB es ángulo externo del triángulo OAP
  5. 5. Por teorema ángulo externo: ∠AOB = ∠OAP + ∠OPA = α + α = 2α
  6. 6. Como ∠APB = α, entonces: ∠APB = (∠AOB) / 2 ✓

CASO 2: Centro O está dentro del ángulo inscrito

Se divide el ángulo con un diámetro y se usa el Caso 1 dos veces.

Estrategia: Trazar diámetro PD que divide ∠APB en dos partes

  1. 1. ∠APB = ∠APD + ∠DPB
  2. 2. Por Caso 1: ∠APD = (∠AOD) / 2
  3. 3. Por Caso 1: ∠DPB = (∠DOB) / 2
  4. 4. Sumar: ∠APB = (∠AOD + ∠DOB) / 2 = (∠AOB) / 2 ✓

CASO 3: Centro O está fuera del ángulo inscrito

Similar al Caso 2 pero restando en lugar de sumar.

Estrategia: Usar diámetro PD y restar ángulos

  1. 1. ∠APB = ∠DPB - ∠DPA
  2. 2. Aplicar Caso 1 a cada ángulo y obtener resultado

✓ Conclusión: En los 3 casos, ∠inscrito = (∠central) / 2

💡 Ejemplo 1 (Básico): Cálculo directo

Enunciado:

Un ángulo central mide 80°. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco?

Paso 1 [Identificar]: Ángulo central = 80°

Paso 2 [Aplicar teorema]: Ángulo inscrito = (Ángulo central) / 2

Paso 3 [Calcular]: Ángulo inscrito = 80° / 2 = 40°

Respuesta: 40°

💡 Ejemplo 2 (Inverso): Del inscrito al central

Enunciado:

Un ángulo inscrito mide 35°. ¿Cuánto mide el ángulo central que subtiende el mismo arco?

Paso 1 [Identificar]: Ángulo inscrito = 35°

Paso 2 [Despejar de teorema]:

Si inscrito = central / 2, entonces central = 2 × inscrito

Paso 3 [Calcular]: Ángulo central = 2 × 35° = 70°

Respuesta: 70°

💡 Ejemplo 3 (Avanzado): Teorema de Tales - Ángulo en semicircunferencia

Teorema de Tales:

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia (es decir, cuya cuerda es un diámetro) es un ángulo recto (90°).

¿Por qué es 90°?

• El diámetro AB subtiende un arco de 180° (media circunferencia)

• Ángulo central correspondiente: ∠AOB = 180° (ángulo plano)

• Por teorema ángulo inscrito: ∠APB = 180° / 2 = 90° ✓

📐 Aplicación práctica:

Este teorema se usa en construcción: para trazar un ángulo recto perfecto sin escuadra, solo necesitas una cuerda (diámetro) y un punto en la semicircunferencia.

⚠️ ERRORES COMUNES CON ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Error 1: Confundir ángulo central con inscrito ❌

Usar fórmula inscrito = central / 2 cuando ambos son inscritos

Correcto: Verificar dónde está el vértice: ¿en centro O o en circunferencia?

Error 2: Olvidar que deben subtender el MISMO arco ❌

Aplicar relación inscrito=central/2 con arcos diferentes

Correcto: Verificar que ambos ángulos "miran" al mismo arco AB

Error 3: Pensar que TODO ángulo en circunferencia es 90° ❌

Generalizar incorrectamente el Teorema de Tales

Correcto: Solo es 90° si la cuerda es un DIÁMETRO (semicircunferencia)

📚 Referencia Curricular MINEDUC

8° Básico: Cap. 6 "Elementos de la circunferencia" (págs. 220-250) — Centro, radio, diámetro, cuerda, arco

1° Medio: Cap. 9 "Ángulos en la circunferencia" (págs. 330-365) — Ángulo central, inscrito, relación 1:2

2° Medio: Cap. 8 "Teoremas circunferencia" (págs. 295-330) — Teorema Tales, ángulos semi-inscritos, tangentes

3° Medio: Cap. 7 "Geometría analítica circunferencia" (págs. 245-280) — Ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Cálculo ángulos inscritos/centrales, teorema Tales, problemas aplicados (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Demostración teoremas circunferencia, locus geométrico, cuerdas y tangentes (Nivel 3)"

📐 3.2 Trigonometría y Razones Trigonométricas

📖 Definición de Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos agudos. Son constantes para un ángulo dado, independiente del tamaño del triángulo (por semejanza).

🔺 Razones Trigonométricas en Triángulo Rectángulo

Las 6 Razones Trigonométricas Fundamentales

Consideremos un triángulo rectángulo con ángulo agudo α:

│\
│ \ hipotenusa
│ \
cateto │ \ α
opuesto│____\
      cateto adyacente

  • • Seno (sin): $\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$
  • • Coseno (cos): $\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$
  • • Tangente (tan): $\tan(\alpha) = \displaystyle\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$
  • ─────────────────────────────────
  • • Cosecante (csc): $\csc(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\sin(\alpha)} = \displaystyle\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}$
  • • Secante (sec): $\sec(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\cos(\alpha)} = \displaystyle\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}$
  • • Cotangente (cot): $\cot(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\tan(\alpha)} = \displaystyle\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}$

Nemotecnia SOH-CAH-TOA: Seno=Opuesto/Hipotenusa, Coseno=Adyacente/Hipotenusa, Tangente=Opuesto/Adyacente

⭕ Extensión al Círculo Unitario (Radio = 1)

🎯 Del Triángulo al Círculo

En un círculo unitario (radio r = 1), cualquier punto P sobre la circunferencia tiene coordenadas:

P = (cos θ, sen θ)

¿Por qué? Si trazamos triángulo desde origen O hasta P:

  • • Cateto adyacente (proyección en eje x) = cos θ
  • • Cateto opuesto (proyección en eje y) = sen θ
  • • Hipotenusa = radio = 1

Ventaja: Esta definición extiende razones trigonométricas a ángulos >90° (cuadrantes II, III, IV)

💡 Ejemplo: Punto en círculo unitario con ángulo 60°

Dato: θ = 60° en círculo unitario

Calcular coordenadas P = (x, y):

Paso 1: $x = \cos(60°) = \displaystyle\frac{1}{2}$

Paso 2: $y = \sin(60°) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

Coordenadas: P = $\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Verificar radio = 1: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$ ✓

🔐 Identidades Trigonométricas Fundamentales

📜 Identidad Pitagórica (La Más Importante)

$$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$

📐 Demostración con Teorema de Pitágoras:

  1. 1. En triángulo rectángulo: $a^2 + b^2 = c^2$ (Pitágoras)
  2. 2. Dividir ambos lados por $c^2$: $\displaystyle\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$
  3. 3. Reconocer: $\displaystyle\frac{a}{c} = \sin(\theta)$ y $\displaystyle\frac{b}{c} = \cos(\theta)$
  4. 4. Sustituir: $\left(\displaystyle\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{b}{c}\right)^2 = 1$
  5. 5. Resultado: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ ✓

Interpretación geométrica: En círculo unitario, todo punto P=(x,y) cumple $x^2 + y^2 = 1$. Como x=cos θ e y=sen θ, obtenemos la identidad.

🔗 Otras Identidades Fundamentales

1️⃣ Tangente en función de Seno y Coseno:

$$\tan(\theta) = \displaystyle\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Por qué: $\tan(\theta) = \displaystyle\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{\text{opuesto}/\text{hip}}{\text{adyacente}/\text{hip}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

2️⃣ Identidad con Tangente (derivada de Pitagórica):

$$1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$$

Demostración: Partir de $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, dividir por $\cos^2(\theta)$:

$\displaystyle\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)} + \frac{\cos^2(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \frac{1}{\cos^2(\theta)}$
$\Rightarrow \tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$ ✓

3️⃣ Identidad con Cotangente:

$$1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$$

Demostración: Dividir identidad Pitagórica por $\sin^2(\theta)$

💡 Aplicación Identidad Pitagórica: Si sen(α) = 3/5, calcular cos(α)

Dato: $\sin(\alpha) = \displaystyle\frac{3}{5}$

Paso 1 [Usar identidad]: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Paso 2 [Sustituir]: $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$

Paso 3 [Simplificar]: $\displaystyle\frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1$

Paso 4 [Despejar]: $\cos^2(\alpha) = 1 - \displaystyle\frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$

Paso 5 [Raíz cuadrada]: $\cos(\alpha) = \pm\sqrt{\displaystyle\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Solución: $\cos(\alpha) = \displaystyle\frac{4}{5}$ (si α en cuadrante I o IV)

o $\cos(\alpha) = -\displaystyle\frac{4}{5}$ (si α en cuadrante II o III)

Nota: Signo de cos α depende del cuadrante. Sin más información, ambas soluciones son válidas.

🏢 Problema Aplicado Completo: Altura de Edificio

💡 Calcular altura de edificio con ángulo de elevación 35° desde distancia 50m

🏢 APLICACIÓN: Cálculo de Altura con Trigonometría

═══════════ SUELO ═══════════ EDIFICIO TOPE EDIFICIO BASE h = ? (altura incógnita) observador hipotenusa (línea visual) ◄────50m────► (distancia horizontal) 35°

DATOS DEL PROBLEMA

  • • Distancia horizontal: 50 m (cateto adyacente)
  • • Ángulo de elevación: 35° (desde horizontal)
  • • Incógnita: h = altura edificio (cateto opuesto)

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA A USAR:

tan(35°) = cateto opuesto / cateto adyacente

tan(35°) = h / 50

h = 50 · tan(35°)

h = 50 · 0.7002

h ≈ 35 metros

Paso 1 [Identificar elementos triángulo rectángulo]:

  • • Ángulo conocido: α = 35°
  • • Cateto adyacente: distancia horizontal = 50m
  • • Cateto opuesto: altura edificio = h (incógnita)

Paso 2 [Seleccionar razón trigonométrica]:

Tenemos cateto adyacente (50m) y buscamos cateto opuesto (h)

Razón que relaciona ambos catetos: tangente

$$\tan(35°) = \displaystyle\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{h}{50}$$

Paso 3 [Plantear ecuación]:

$$\tan(35°) = \displaystyle\frac{h}{50}$$

Paso 4 [Resolver algebraicamente]:

Multiplicar ambos lados por 50:

$$h = 50 \cdot \tan(35°)$$

Calcular $\tan(35°) \approx 0.7002$ (con calculadora)

$$h = 50 \times 0.7002 = 35.01 \text{ metros}$$

Paso 5 [Verificación]:

Comprobar usando función inversa (arcotangente):

$$\arctan\left(\displaystyle\frac{35.01}{50}\right) = \arctan(0.7002) \approx 35.00° \text{ ✓}$$

La verificación confirma que el ángulo calculado coincide con el dado.

Respuesta Final: La altura del edificio es aproximadamente 35 metros

🎯 Estrategia didáctica:

  • • Diagrama claro: Estudiante visualiza situación real como triángulo rectángulo
  • • Identificación explícita: Cuál cateto es adyacente, cuál opuesto
  • • Justificación razón: Por qué usar tangente (relaciona catetos conocido/incógnita)
  • • Verificación: Función inversa confirma coherencia (evita errores de cálculo)
  • • Contexto real: Problema aplicable en topografía, arquitectura, navegación

📊 Tabla de Valores Trigonométricos Notables

Ángulos Especiales (para memorizar)

Ángulo θ sen θ cos θ tan θ
0° 0 1 0
30° $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
45° $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 1
60° $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$
90° 1 0 ∞ (indefinido)

Truco memoria: Para 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: sen = $\sqrt{0}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{4}/2$

⚠️ ERRORES COMUNES CON TRIGONOMETRÍA

Error 1: Confundir cateto opuesto con adyacente ❌

Depende del ángulo de referencia. El cateto opuesto a α puede ser adyacente a β.

Correcto: Siempre identificar primero el ángulo de referencia

Error 2: Olvidar que identidad Pitagórica da dos soluciones ❌

Si $\sin(\theta) = 0.6$, entonces $\cos(\theta) = \pm 0.8$ (depende del cuadrante)

Correcto: Considerar contexto para determinar signo correcto

Error 3: Usar grados cuando calculadora está en radianes ❌

tan(30) en radianes ≠ tan(30°). Verificar modo calculadora.

Correcto: 30° = π/6 radianes. Convertir o configurar calculadora

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Cap. 7 "Razones trigonométricas en triángulo rectángulo" (págs. 250-285) — SOH-CAH-TOA, problemas aplicados

2° Medio: Cap. 6 "Círculo unitario y extensión razones" (págs. 220-260) — Ángulos >90°, cuadrantes, signos

3° Medio: Cap. 5 "Identidades trigonométricas" (págs. 170-210) — Identidad Pitagórica, ecuaciones trigonométricas

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Cálculo razones trigonométricas en triángulos, identidad Pitagórica, problemas aplicados contexto real (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Ecuaciones trigonométricas, funciones periódicas, modelamiento ondas/ciclos (Nivel 3-4)"

🔍 3.3 Semejanza y Proporcionalidad

📜 Contexto Histórico: La Semejanza en la Antigüedad

🏛️ Historia de la Semejanza Geométrica

La semejanza fue uno de los conceptos más revolucionarios de la geometría griega, permitiendo calcular distancias inaccesibles mediante proporciones.

Tales de Mileto (624-546 a.C.): Midió la altura de las pirámides de Egipto usando su sombra y una vara. Observó que triángulos con ángulos iguales tienen lados proporcionales.

Euclides (300 a.C.): Formalizó criterios de semejanza en "Los Elementos" (Libro VI). Demostró que figuras semejantes tienen áreas proporcionales al cuadrado de sus lados.

Aplicaciones modernas: Cartografía (mapas a escala), arquitectura (maquetas), fotografía (ampliaciones), diseño industrial (prototipos)

📖 Definiciones Formales: ¿Qué es Semejanza?

🔍 ¿Qué son Figuras Semejantes?

Dos figuras son semejantes si:

  • 1. Tienen la misma forma (ángulos correspondientes iguales)
  • 2. Sus lados correspondientes son proporcionales (razón constante k)

Notación: △ABC ~ △DEF se lee "triángulo ABC semejante a triángulo DEF"

📐 Propiedades de Figuras Semejantes

Si △ABC ~ △DEF con razón de semejanza k = AB/DE:

    A              D
    ●              ●
   / │\          / │\
  /  │ \        /  │ \
 ●───●───●    ●───●───●
 B   H   C    E   I   F

 △ABC grande ~ △DEF pequeño
  • • Ángulos correspondientes iguales: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
  • • Lados proporcionales: $\displaystyle\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$ (razón semejanza)
  • • Perímetros proporcionales: Si perímetro₁/perímetro₂ = k
  • • Áreas proporcionales: Si área₁/área₂ = k² (al cuadrado de la razón)
  • • Volúmenes proporcionales (3D): vol₁/vol₂ = k³ (al cubo de la razón)

📐 Criterios de Semejanza de Triángulos

✅ Criterio 1: AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo)

Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, entonces son semejantes.

Nota: En realidad basta verificar DOS ángulos (el tercero se deduce porque ∠A + ∠B + ∠C = 180°)

🔬 Justificación geométrica:

Si dos triángulos tienen ángulos iguales, uno es una "versión ampliada/reducida" del otro. Los lados necesariamente quedan proporcionales para mantener los ángulos.

✅ Criterio 2: LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual, entonces son semejantes.

Formal: Si $\displaystyle\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$ y ∠A = ∠D, entonces △ABC ~ △DEF

🔬 Justificación geométrica:

El ángulo comprendido "fija" la apertura entre los dos lados proporcionales. Si la apertura es igual y los lados proporcionales, el tercer lado también queda proporcional automáticamente.

✅ Criterio 3: LLL (Lado-Lado-Lado)

Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes proporcionales, entonces son semejantes.

Formal: Si $\displaystyle\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$, entonces △ABC ~ △DEF

🔬 Justificación geométrica:

Si los tres lados son proporcionales con misma razón k, el triángulo queda completamente determinado en forma. Es imposible cambiar ángulos manteniendo los tres lados proporcionales.

📏 Teorema de Tales (Fundamental)

🎯 Enunciado del Teorema de Tales

Si tres o más rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos determinados en una transversal son proporcionales a los segmenos correspondientes en la otra.

📏 TEOREMA DE TALES: Paralelas y Proporcionalidad

3 RECTAS PARALELAS cortan 2 TRANSVERSALES Transversal 1 Transversal 2 l₁ (paralela) l₂ (paralela) l₃ (paralela) A B C D E F segmento AB segmento BC segmento DE segmento EF

CONCLUSIÓN DEL TEOREMA DE TALES

AB/BC = DE/EF

"Los segmentos en transversal 1 son PROPORCIONALES
a los segmentos correspondientes en transversal 2"

💡 APLICACIÓN HISTÓRICA:

Tales midió pirámides usando una vara:
altura₁ / sombra₁ = altura₂ / sombra₂

💡 Aplicación práctica:

Tales usó esto para medir pirámides: clavó una vara vertical, esperó a que su sombra fuera igual a su altura, y en ese momento midió la sombra de la pirámide (que era igual a su altura). Proporcionalidad: altura₁/sombra₁ = altura₂/sombra₂

🔬 Demostración del Teorema de Tales (Caso Simple)

Demostraremos para 3 paralelas cortando 2 transversales.

Dado: l₁ ∥ l₂ ∥ l₃ cortan transversales en A,B,C y D,E,F

Probar: AB/BC = DE/EF

Paso 1: Construir triángulos auxiliares

Trazar segmentos AE y BF. Se forman triángulos.

Paso 2: Usar paralelismo

Como l₁ ∥ l₂, los ángulos ∠BAE = ∠AEB (alternos internos)

Como l₂ ∥ l₃, los ángulos ∠CBF = ∠BFC (alternos internos)

Paso 3: Triángulos semejantes

Los triángulos formados tienen ángulos iguales → son semejantes

Por semejanza: AB/BC = DE/EF ✓

🔺 Teorema de Euclides (Trazos Proporcionales)

En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto hacia la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos (proyecciones) que cumplen relaciones métricas especiales.

🔺 TEOREMA DE EUCLIDES: Altura y Proyecciones

TRIÁNGULO RECTÁNGULO con ALTURA a la HIPOTENUSA A B C H b a h p = AH (proyección de b) q = HB (proyección de a) c = AB (hipotenusa)

📐 RELACIONES MÉTRICAS DE EUCLIDES

1️⃣ TEOREMA DE LA ALTURA:

h² = p · q

"altura al cuadrado = producto de proyecciones"

2️⃣ TEOREMA DEL CATETO (para cateto b):

b² = p · c

"cateto al cuadrado = proyección × hipotenusa"

3️⃣ TEOREMA DEL CATETO (para cateto a):

a² = q · c

"cateto al cuadrado = proyección × hipotenusa"

💡 JUSTIFICACIÓN: Los triángulos △CAH, △CHB y △ABC son semejantes (criterio AA).

Por proporcionalidad: h/p = q/h → h² = p·q ✓

📐 Relaciones de Euclides:

  • • Teorema altura: $h^2 = p \cdot q$ (altura al cuadrado = producto proyecciones)
  • • Teorema cateto 1: $CA^2 = p \cdot AB$ (cateto al cuadrado = proyección × hipotenusa)
  • • Teorema cateto 2: $CB^2 = q \cdot AB$ (cateto al cuadrado = proyección × hipotenusa)

🔬 Justificación (Teorema altura):

Los triángulos CAH y CHB son semejantes al triángulo ABC (criterio AA). Por proporcionalidad de lados: h/p = q/h → h² = p·q ✓

💡 Ejemplo 1: Calcular altura con Teorema de Euclides

Enunciado:

En triángulo rectángulo ABC, la altura h desde C divide la hipotenusa en p = 4 cm y q = 9 cm. Calcular h.

Paso 1 [Identificar]: p = 4, q = 9, buscar h

Paso 2 [Aplicar Teorema altura]: h² = p · q

Paso 3 [Sustituir]: h² = 4 · 9 = 36

Paso 4 [Raíz]: h = √36 = 6 cm

Respuesta: h = 6 cm

🔄 Homotecia: Transformación de Semejanza

🎯 ¿Qué es una Homotecia?

Una homotecia es una transformación geométrica que:

  • • Tiene un centro O (punto fijo)
  • • Tiene una razón k (factor de escala)
  • • Transforma cada punto P en P' tal que: $\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}$

Resultado: La figura original y su imagen son semejantes con razón de semejanza |k|

📊 Tipos de Homotecia según k

  • • k > 1: Amplía la figura (imagen más grande que original)
  • • k = 1: Identidad (figura no cambia)
  • • 0 < k < 1: Reduce la figura (imagen más pequeña que original)
  • • k < 0: Invierte la figura respecto al centro O (simetría + escala)

💡 Propiedades de la Homotecia:

  • • Lados se multiplican por |k|
  • • Ángulos NO cambian (figuras semejantes)
  • • Perímetro se multiplica por |k|
  • • Área se multiplica por k²
  • • Volumen (3D) se multiplica por k³
  • • Rectas paralelas se transforman en rectas paralelas

💡 Ejemplo 2: Homotecia con k = 2

Enunciado:

Un triángulo rectángulo tiene lados 3, 4, 5 cm. Se aplica homotecia con razón k = 2. Calcular: (a) nuevos lados, (b) perímetro nuevo, (c) área nueva.

(a) Nuevos lados: Multiplicar cada lado por k = 2

• Lado 1: 3 × 2 = 6 cm

• Lado 2: 4 × 2 = 8 cm

• Lado 3 (hipotenusa): 5 × 2 = 10 cm

(b) Perímetro nuevo:

• Perímetro original: 3 + 4 + 5 = 12 cm

• Perímetro nuevo: 6 + 8 + 10 = 24 cm (o 12 × 2 = 24)

(c) Área nueva:

• Área original: (3 × 4) / 2 = 6 cm²

• Área nueva: (6 × 8) / 2 = 24 cm² (o 6 × 2² = 6 × 4 = 24)

Respuestas:

(a) Lados: 6, 8, 10 cm

(b) Perímetro: 24 cm (×k)

(c) Área: 24 cm² (×k²)

💡 Ejemplo 3 (Avanzado): Aplicación práctica - Maqueta arquitectónica

Enunciado:

Un edificio real tiene altura 60 m. Se construye maqueta a escala 1:200. (a) ¿Altura de la maqueta? (b) Si ventana real tiene área 4 m², ¿área en maqueta?

Paso 1 [Identificar razón]: Escala 1:200 significa k = 1/200 = 0.005

(a) Altura maqueta:

Altura_maqueta = 60 m × 0.005 = 0.3 m = 30 cm

(b) Área ventana maqueta:

Área se multiplica por k² = (1/200)² = 1/40,000

Área_maqueta = 4 m² × (1/40,000) = 0.0001 m² = 1 cm²

Respuestas:

(a) Altura maqueta: 30 cm

(b) Área ventana maqueta: 1 cm²

⚠️ ERRORES COMUNES EN SEMEJANZA

Error 1: Confundir igualdad con proporcionalidad ❌

Decir "los lados son iguales" cuando son proporcionales

Correcto: Lados son proporcionales con razón k, no necesariamente iguales

Error 2: Olvidar que área se multiplica por k² ❌

Pensar que si k = 3, área se multiplica por 3 (debería ser 9)

Correcto: Perímetro ×k, Área ×k², Volumen ×k³

Error 3: Aplicar criterio LAL con ángulo NO comprendido ❌

Usar LAL cuando el ángulo no está entre los dos lados proporcionales

Correcto: En LAL, el ángulo DEBE estar entre los dos lados

Error 4: En Teorema Euclides confundir p, q con catetos ❌

Pensar que p y q son los catetos completos

Correcto: p y q son las proyecciones (segmentos en hipotenusa), NO los catetos

📚 Referencia Curricular MINEDUC

8° Básico: Cap. 7 "Proporcionalidad y razones" (págs. 240-270) — Razón, proporción, regla de tres

1° Medio: Cap. 10 "Semejanza de triángulos" (págs. 380-425) — Criterios AAA, LAL, LLL, Teorema de Tales

2° Medio: Cap. 9 "Teoremas métricos" (págs. 330-365) — Teorema de Euclides, relaciones métricas triángulo rectángulo

3° Medio: Cap. 8 "Transformaciones isométricas y homotecia" (págs. 280-315) — Homotecia, escala, maquetas

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Criterios semejanza triángulos, cálculo razón de semejanza, Teorema de Tales aplicado (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Teorema Euclides, homotecia composición transformaciones, problemas optimización escala (Nivel 3)"

📦 3.3 Áreas, Volúmenes y Cuerpos Geométricos 3D

📐 Fórmulas Áreas Figuras Planas (Repaso)

Áreas Esenciales

  • • Triángulo: $A = \displaystyle\frac{b \cdot h}{2}$ (base × altura / 2)
  • • Cuadrado: $A = l^2$ (lado al cuadrado)
  • • Rectángulo: $A = b \cdot h$ (base × altura)
  • • Círculo: $A = \pi r^2$, Perímetro = $2\pi r$
  • • Trapecio: $A = \displaystyle\frac{(B + b) \cdot h}{2}$ (promedio bases × altura)

🔄 Cuerpos Generados por Rotación (Fundamental)

💡 ¿Qué es un Cuerpo de Rotación?

Es un sólido 3D que se obtiene al rotar una figura plana alrededor de un eje (recta fija).

Propiedad clave: El cuerpo resultante es simétrico respecto al eje de rotación.

💡 Ejemplo 1: Rectángulo → Cilindro

�

🔄 ROTACIÓN: Rectángulo → Cilindro

ANTES DE ROTAR (figura 2D) EJE h (altura) r (radio) ⟳ ROTAR 360° DESPUÉS: CILINDRO 3D h (altura) r tapa superior tapa inferior

📐 FÓRMULAS DEL CILINDRO

• Volumen: V = πr²h (área base × altura)

• Área lateral: A_L = 2πrh (perímetro × altura)

• Área total: A_T = 2πrh + 2πr² (lateral + 2 tapas)

💡 Ejemplos reales: latas, tubos, tanques, columnas

💡 Ejemplo 2: Triángulo Rectángulo → Cono

🔄 ROTACIÓN: Triángulo → Cono

� ROTACIÓN: Triángulo → Cono

ANTES DE ROTAR (triángulo rectángulo 2D) EJE vértice h r g (generatriz) ⟳ ROTAR 360° DESPUÉS: CONO 3D vértice h (altura) r g base circular

📐 FÓRMULAS DEL CONO

• Volumen: V = (1/3)πr²h (⅓ del cilindro)

• Área lateral: A_L = πrg (g = generatriz)

• Área total: A_T = πrg + πr² (lateral + base)

• Generatriz: g = √(r² + h²) (Pitágoras)

🔬 Arquímedes: 3 conos = 1 cilindro (mismo r,h)

¿Por qué volumen cono = cilindro/3? Si llenas 3 conos idénticos con agua y los viertes en un cilindro (misma base y altura), lo llenan exactamente. ¡Experimento histórico de Arquímedes!

💡 Ejemplo 3: Semicírculo → Esfera

� ROTACIÓN: Semicírculo → Esfera

ANTES DE ROTAR (semicírculo 2D) EJE (diámetro) extremo extremo O (centro) r semicírculo (mitad) ⟳ ROTAR 360° alrededor diámetro DESPUÉS: ESFERA 3D O (centro) r ESFERA completa (3D)

📐 FÓRMULAS DE LA ESFERA

• Volumen: V = (4/3)πr³

• Área superficie: A = 4πr²

🌍 Ejemplos: planetas, pelotas, burbujas

📐 Arquímedes: esfera cabe exactamente en cilindro (mismo r y h=2r) → V_esf = (2/3)V_cil

• Área superficie: $A = 4\pi r^2$ (4 veces el área del círculo base)

🌍 Aplicación real:

La Tierra es (aproximadamente) una esfera con radio 6371 km. Área superficie ≈ 510 millones km². Volumen ≈ 1.08 × 10¹² km³

🧮 Deducción Geométrica de Fórmulas Volumen

📐 Volumen Cilindro (desde Prisma)

Paso 1: Volumen prisma = Área_base × altura

Porque apilas "copias" de la base hasta llenar la altura

Paso 2: Cilindro es como "prisma con base circular"

Base = círculo de área $\pi r^2$

Paso 3: Volumen cilindro = $\pi r^2 \times h$

$$V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h$$

📐 Volumen Cono = Pirámide / 3

Hecho geométrico: Pirámide con base B y altura h:

$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} B \cdot h$$

¿Por qué 1/3?

• Un prisma de base B y altura h tiene volumen $B \cdot h$

• Se puede demostrar (con cálculo infinitesimal) que una pirámide ocupa exactamente 1/3 del prisma

• Arquímedes lo verificó experimentalmente con agua

Cono es pirámide con base circular:

Base B = $\pi r^2$, entonces:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

🍕 Sectores Circulares (Deducción por Proporcionalidad)

🎯 ¿Qué es un Sector Circular?

Es la región del círculo comprendida entre dos radios y el arco que los une. Similar a una "rebanada de pizza" 🍕

📏 Deducción por Proporcionalidad

Razonamiento:

• Círculo completo tiene ángulo central = 360°

• Sector con ángulo θ es una fracción del círculo

• Esa fracción es: $\displaystyle\frac{\theta}{360°}$

Aplicar proporcionalidad:

1️⃣ Longitud de arco:

$L = \displaystyle\frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$ (fracción del perímetro)

2️⃣ Área del sector:

$A_{\text{sector}} = \displaystyle\frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$ (fracción del área)

3️⃣ Perímetro del sector:

$P = 2r + L$ (dos radios + arco)

🎯 Problemas Aplicados Completos

💡 Problema 1: Tanque Cilíndrico de Agua

Enunciado:

Un tanque cilíndrico tiene radio 2 metros y altura 5 metros. ¿Cuántos litros de agua cabe? (1 m³ = 1000 litros)

Paso 1 [Identificar datos]:

• Radio: r = 2 m

• Altura: h = 5 m

• Forma: Cilindro

Paso 2 [Fórmula volumen]:

$V = \pi r^2 h$

Paso 3 [Calcular]:

$V = \pi (2)^2 (5) = 20\pi$ m³

$V \approx 62.83$ m³

Paso 4 [Convertir a litros]:

$62.83 \text{ m}^3 \times 1000 \displaystyle\frac{\text{litros}}{\text{m}^3} = 62,830$ litros

Respuesta: El tanque almacena aproximadamente 62,830 litros

🏗️ Contexto ingenieril:

En construcción, tanques elevados almacenan agua para abastecer edificios. Conocer volumen es esencial para dimensionar correctamente.

💡 Problema 2: Cono de Helado

Enunciado:

Un cono de helado tiene diámetro superior 6 cm y profundidad 12 cm. ¿Cuántos cm³ de helado cabe dentro del cono?

Paso 1 [Identificar datos]:

• Diámetro: d = 6 cm → Radio: r = 3 cm

• Profundidad (altura): h = 12 cm

• Forma: Cono

Paso 2 [Fórmula volumen cono]:

$V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$

Paso 3 [Sustituir valores]:

$V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi (3)^2 (12)$

$V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi (9)(12) = \frac{108\pi}{3} = 36\pi$ cm³

Paso 4 [Aproximación numérica]:

$V \approx 36 \times 3.1416 \approx 113.1$ cm³

Respuesta: El cono contiene aproximadamente 113 cm³ de helado

🍦 Dato curioso:

Si el helado también llena una semiesfera encima (bola de helado), el volumen total sería: $V_{\text{cono}} + V_{\text{semiesfera}} = 36\pi + \frac{2}{3}\pi(3)^3 = 36\pi + 18\pi = 54\pi \approx 170$ cm³

💡 Problema 3: Rebanada de Pizza (Sector Circular)

Enunciado:

Una pizza circular tiene radio 30 cm. Si se corta en 8 porciones iguales, ¿cuál es el área de cada rebanada y la longitud del borde curvo?

Paso 1 [Identificar datos]:

• Radio pizza: r = 30 cm

• Número porciones: n = 8

• Ángulo cada sector: $\theta = \displaystyle\frac{360°}{8} = 45°$

Paso 2 [Área de cada rebanada]:

Fórmula: $A = \displaystyle\frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$

$A = \displaystyle\frac{45°}{360°} \times \pi (30)^2$

$A = \displaystyle\frac{1}{8} \times 900\pi = \frac{900\pi}{8} = 112.5\pi$ cm²

$A \approx 353.4$ cm²

Paso 3 [Longitud borde curvo]:

Fórmula: $L = \displaystyle\frac{\theta}{360°} \times 2\pi r$

$L = \displaystyle\frac{45°}{360°} \times 2\pi (30)$

$L = \displaystyle\frac{1}{8} \times 60\pi = 7.5\pi$ cm

$L \approx 23.6$ cm

Paso 4 [Perímetro total rebanada]:

Perímetro = 2 radios + arco

$P = 2(30) + 7.5\pi = 60 + 7.5\pi \approx 83.6$ cm

Respuestas:

• Área cada rebanada: ≈353 cm²

• Longitud borde curvo: ≈24 cm

🍕 Verificación:

Área pizza completa = $\pi(30)^2 = 900\pi \approx 2827$ cm². Si dividimos en 8: $2827 \div 8 \approx 353$ cm² ✓

⚠️ ERRORES COMUNES CON GEOMETRÍA 3D

Error 1: Confundir diámetro con radio ❌

Si dicen "diámetro 10 cm", el radio es 5 cm (no 10)

Correcto: r = d/2, siempre verificar qué dato dan

Error 2: Olvidar el factor 1/3 en cono y pirámide ❌

Usar $V = \pi r^2 h$ para cono (falta dividir por 3)

Correcto: $V_{\text{cono}} = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{pirámide}} = \displaystyle\frac{1}{3}Bh$

Error 3: Usar ángulo en radianes con fórmula en grados ❌

$A = \displaystyle\frac{\theta}{360°}$ requiere θ en grados. Si θ en radianes, usar $A = \displaystyle\frac{1}{2}r^2\theta$

Correcto: Verificar unidad del ángulo antes de aplicar fórmula

📚 Referencia Curricular MINEDUC

7° Básico: Cap. 8 "Áreas y perímetros figuras planas" (págs. 280-310)

8° Básico: Cap. 7 "Volumen prismas y cilindros" (págs. 240-275)

1° Medio: Cap. 8 "Cuerpos de rotación: cilindro, cono, esfera" (págs. 290-330)

2° Medio: Cap. 7 "Volúmenes y áreas superficiales" (págs. 260-295)

3° Medio: Cap. 6 "Sectores y segmentos circulares" (págs. 210-245)

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Cálculo volúmenes cilindro/cono/esfera, sectores circulares, problemas aplicados (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Optimización volúmenes con restricciones, composición cuerpos geométricos (Nivel 3)"

➡️ 3.4 Vectores en el Plano

📜 Contexto Histórico: Vectores en Física y Matemática

🏛️ Historia de los Vectores

Los vectores surgieron de la necesidad de representar cantidades que tienen tanto magnitud (tamaño) como dirección (orientación espacial).

Galileo Galilei (1564-1642): Estudió composición de movimientos, observando que velocidad tiene dirección y magnitud

Isaac Newton (1643-1727): Formalizó concepto de fuerza como vector en "Principia Mathematica". Segunda Ley: F = m·a (fuerza es vector)

William Rowan Hamilton (1843): Desarrolló álgebra vectorial moderna con cuaterniones

Josiah Willard Gibbs (1881): Formalizó notación vectorial moderna (i, j, k) usada en física e ingeniería

💡 Aplicaciones modernas:

Física (fuerzas, velocidad, aceleración), Ingeniería (estructuras, tensiones), Navegación GPS (desplazamiento), Videojuegos (movimiento personajes), Inteligencia Artificial (aprendizaje automático)

📖 Definiciones Formales: Vector vs Escalar

🎯 ¿Qué es un Vector?

Un vector es una cantidad que se caracteriza por:

📊 Ejemplos físicos de VECTORES:

  • • Fuerza: 50 N hacia el este (magnitud 50 N, dirección este)
  • • Velocidad: 80 km/h hacia el norte (magnitud 80 km/h, dirección norte)
  • • Desplazamiento: 3 metros hacia arriba (magnitud 3 m, dirección vertical)
  • • Aceleración: 9.8 m/s² hacia abajo (gravedad)

Notación: $\vec{v}$ o v (negrita) o v con flecha arriba

📏 ¿Qué es un Escalar? (Contraste)

Un escalar es una cantidad que solo tiene magnitud (tamaño), sin dirección.

📊 Ejemplos físicos de ESCALARES:

  • • Temperatura: 25°C (no tiene dirección)
  • • Masa: 5 kg (no importa hacia dónde)
  • • Tiempo: 10 segundos (no tiene sentido espacial)
  • • Energía: 100 Joules (solo magnitud)
  • • Rapidez: 60 km/h (sin dirección, vs. velocidad que SÍ tiene dirección)

⚠️ Distinción crucial:

• Rapidez (escalar): "Voy a 100 km/h" (solo magnitud)

• Velocidad (vector): "Voy a 100 km/h hacia el norte" (magnitud + dirección)

📐 Representación Cartesiana de Vectores

🎯 Componentes de un Vector en el Plano

📐 VECTOR EN PLANO CARTESIANO: Componentes

VECTOR v = (3, 2) en Coordenadas Cartesianas x y O (origen) 1 2 3 2 (3, 2) extremo COMPONENTES DEL VECTOR x y O v_x = 3 (componente horizontal) v_y = 2 (componente vertical) (3, 2) CÁLCULOS IMPORTANTES: • Módulo (magnitud): |v| = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3.6 • Dirección (ángulo con eje x): θ = arctan(2/3) ≈ 33.7° 💡 Interpretación: Desplazamiento de 3 unidades → y 2 unidades ↑ desde origen

🔧 Operaciones con Vectores (con Justificación Geométrica)

➕ 1. Suma de Vectores

Regla algebraica: Si $\vec{u}=(u_x, u_y)$ y $\vec{v}=(v_x, v_y)$, entonces:

$\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)$

🔬 Justificación geométrica (Regla del Paralelogramo):

Para sumar $\vec{u}$ y $\vec{v}$ geométricamente:

  1. 1. Dibujar $\vec{u}$ desde origen O
  2. 2. Dibujar $\vec{v}$ desde el extremo de $\vec{u}$ (método triángulo)
  3. 3. El vector resultante va desde O hasta el extremo final
  4. 4. Alternativamente: formar paralelogramo con $\vec{u}$ y $\vec{v}$, la diagonal es $\vec{u}+\vec{v}$

💡 Interpretación física:

Si caminas 3 m al este ($\vec{u}$) y luego 2 m al norte ($\vec{v}$), tu desplazamiento total es $\vec{u}+\vec{v}$ (diagonal del rectángulo formado)

Propiedades:

➖ 2. Resta de Vectores

Regla algebraica:

$\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y)$

🔬 Justificación geométrica:

$\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$ donde $-\vec{v}$ es el vector opuesto de $\vec{v}$ (misma magnitud, dirección opuesta)

Geométricamente: Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ parten del mismo origen O, entonces $\vec{u}-\vec{v}$ es el vector que va desde el extremo de $\vec{v}$ al extremo de $\vec{u}$

💡 Interpretación física:

$\vec{v}_{\text{relativa}} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ es la velocidad de A relativa a B (qué tan rápido y en qué dirección se aleja A de B)

✖️ 3. Multiplicación por Escalar

Regla algebraica: Si $k$ es un número (escalar) y $\vec{v}=(v_x, v_y)$, entonces:

$k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_x, k \cdot v_y)$

🔬 Justificación geométrica (Homotecia vectorial):

  • • Si k > 1: Vector se amplía (misma dirección, mayor magnitud)
  • • Si 0 < k < 1: Vector se reduce (misma dirección, menor magnitud)
  • • Si k < 0: Vector se invierte (dirección opuesta) y escala por |k|
  • • Si k = 0: Vector nulo $\vec{0}=(0,0)$

Magnitud del resultado: $|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$

💡 Interpretación física:

Si $\vec{F}$ es fuerza aplicada, $2\vec{F}$ es el doble de fuerza en misma dirección. Si $-\vec{F}$, fuerza opuesta (resistencia).

📐 4. Módulo (Magnitud) de un Vector

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

🔬 Justificación geométrica (Teorema de Pitágoras):

El vector $\vec{v}=(v_x, v_y)$ forma un triángulo rectángulo con catetos $v_x$ (horizontal) y $v_y$ (vertical). La hipotenusa es el módulo del vector.

Por Pitágoras: $|\vec{v}|^2 = v_x^2 + v_y^2$ → $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

📐 5. Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar de dos vectores es un número (escalar), NO un vector.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y$

🔬 Interpretación geométrica:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)$ donde $\theta$ es ángulo entre los vectores

Casos especiales:

  • • Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ → vectores perpendiculares (ángulo 90°)
  • • Si $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ → ángulo agudo (< 90°), vectores "apuntan hacia mismo lado"
  • • Si $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ → ángulo obtuso (> 90°), vectores "apuntan en sentidos opuestos"

💡 Aplicación física: Trabajo mecánico

$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (trabajo = fuerza · desplazamiento). Si fuerza perpendicular al movimiento → trabajo = 0

Ángulo entre vectores:

$\cos(\theta) = \displaystyle\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

💡 Ejemplo 1 (Básico): Operaciones vectoriales

Enunciado:

Dados $\vec{u}=(3, 2)$ y $\vec{v}=(1, 4)$, calcular: (a) $\vec{u}+\vec{v}$, (b) $\vec{u}-\vec{v}$, (c) $|\vec{u}|$

(a) Suma: $\vec{u}+\vec{v} = (3+1, 2+4) = (4, 6)$

(b) Resta: $\vec{u}-\vec{v} = (3-1, 2-4) = (2, -2)$

(c) Módulo de $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3.61$

Respuestas:

(a) (4, 6)

(b) (2, -2)

(c) √13 ≈ 3.61

💡 Ejemplo 2 (Intermedio): Producto escalar y ángulo

Enunciado:

Dados $\vec{u}=(4, 3)$ y $\vec{v}=(3, -4)$, calcular: (a) $\vec{u} \cdot \vec{v}$, (b) ¿Son perpendiculares?

(a) Producto escalar:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(3) + (3)(-4) = 12 - 12 = 0$

(b) Verificar perpendicularidad:

Como $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, los vectores son perpendiculares ✓

(Forman ángulo de 90°)

Respuestas:

(a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

(b) Sí, son perpendiculares

💡 Ejemplo 3 (Avanzado): Aplicación física - Fuerzas resultantes

Enunciado:

Sobre un objeto actúan dos fuerzas: $\vec{F}_1 = (30, 40)$ N (Newtons) y $\vec{F}_2 = (-10, 20)$ N. Calcular: (a) Fuerza resultante, (b) Magnitud de fuerza resultante.

(a) Fuerza resultante: Principio superposición (sumar vectores)

$\vec{F}_{\text{resultante}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$

$= (30, 40) + (-10, 20)$

$= (30-10, 40+20)$

$= (20, 60)$ N

(b) Magnitud:

$|\vec{F}_{\text{resultante}}| = \sqrt{20^2 + 60^2}$

$= \sqrt{400 + 3600} = \sqrt{4000}$

$= \sqrt{400 \cdot 10} = 20\sqrt{10} \approx 63.25$ N

Respuestas:

(a) $\vec{F}_{\text{resultante}} = (20, 60)$ N

(b) Magnitud ≈ 63.25 N

🎯 Interpretación física:

El objeto experimenta fuerza neta de ~63 N hacia la derecha-arriba (componente horizontal 20 N, vertical 60 N). Según Segunda Ley Newton (F=ma), si masa=5 kg, aceleración sería $\vec{a}=(4, 12)$ m/s².

⚠️ ERRORES COMUNES CON VECTORES

Error 1: Confundir rapidez con velocidad ❌

Tratar "100 km/h" como vector (falta dirección)

Correcto: Rapidez es escalar (solo magnitud), velocidad es vector (magnitud + dirección)

Error 2: Multiplicar vectores componente a componente ❌

Pensar que $(2,3) \times (4,5) = (8, 15)$ (esto NO es producto escalar)

Correcto: Producto escalar: $(2,3) \cdot (4,5) = 2·4 + 3·5 = 23$ (resultado es escalar)

Error 3: Olvidar que producto escalar NO es vector ❌

Escribir $\vec{u} \cdot \vec{v} = (...)$ con flecha de vector

Correcto: $\vec{u} \cdot \vec{v}$ es un NÚMERO (escalar), no tiene flecha

Error 4: Calcular ángulo sin usar valor absoluto en módulos ❌

Usar componentes negativos directamente en fórmula ángulo

Correcto: Siempre calcular $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$ (módulo es positivo)

📚 Referencia Curricular MINEDUC

1° Medio: Cap. 11 "Vectores en el plano" (págs. 420-455) — Definición, componentes, suma, resta, módulo

2° Medio: Cap. 10 "Operaciones vectoriales" (págs. 365-400) — Producto escalar, ángulo entre vectores, aplicaciones física

3° Medio Física: Cap. 2 "Cinemática vectorial" (págs. 45-80) — Vectores posición, velocidad, aceleración, composición movimientos

4° Medio Física: Cap. 1 "Dinámica" (págs. 12-50) — Vectores fuerza, Segunda Ley Newton, descomposición fuerzas

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Operaciones vectoriales, módulo, suma/resta geométrica, aplicaciones contexto real (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Producto escalar, ángulo entre vectores, proyecciones, problemas física aplicada (Nivel 3)"

💡 Tipo PAES Ciencias: "Vectores fuerza, velocidad, aceleración, Segunda Ley Newton, trabajo mecánico (Nivel 2-3)"

4️⃣ DOMINIO 4: DATOS Y AZAR (20%)

📊 4.1 Estadística Descriptiva

📜 Contexto Histórico: El Nacimiento de la Estadística

🏛️ Historia de la Estadística

La estadística nació de la necesidad de censos poblacionales (del latín status = estado) y evolucionó hasta convertirse en ciencia fundamental para analizar datos.

John Graunt (1662): Primer estadístico moderno. Analizó datos mortalidad en Londres, creó primeras "tablas de vida"

Carl Friedrich Gauss (1777-1855): Desarrolló distribución normal (curva de Gauss) estudiando errores astronómicos. Descubrió que errores se distribuyen simétricamente alrededor de la media

Adolphe Quetelet (1835): Aplicó estadística a ciencias sociales. Introdujo concepto "hombre promedio"

Karl Pearson (1857-1936): Padre estadística matemática moderna. Creó correlación, chi-cuadrado, desviación estándar

Ronald Fisher (1890-1962): Revolucionó estadística experimental. Inventó ANOVA, diseño experimentos, tests significancia

💡 Importancia actual:

Medicina (ensayos clínicos), Economía (PIB, inflación), Deportes (análisis rendimiento), Redes sociales (análisis tendencias), Inteligencia Artificial (aprendizaje automático basado en datos)

📖 Conceptos Fundamentales: ¿Qué es Estadística?

🎯 ¿Qué estudia la Estadística?

La estadística descriptiva es la rama que organiza, resume y presenta datos mediante medidas numéricas y gráficos para entender características de un conjunto de datos.

  • • Población: Conjunto completo de elementos que se estudia (ej: todos los estudiantes de Chile)
  • • Muestra: Subconjunto representativo de la población (ej: 1000 estudiantes seleccionados)
  • • Variable: Característica que se mide (ej: edad, puntaje, género)
  • • Dato: Valor específico observado (ej: Juan tiene 17 años)

📐 Medidas de Tendencia Central (¿Dónde se concentran los datos?)

1️⃣ Media Aritmética (Promedio)

La media es el "centro de gravedad" de los datos. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo por la cantidad.

$\bar{x} = \displaystyle\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

🔬 ¿Por qué funciona la media?

La media minimiza la suma de las distancias al cuadrado desde cada dato. Es el "punto de equilibrio" donde los datos se compensan mutuamente. Si todos tuvieran el valor promedio, la suma total sería igual.

✅ Ventajas:

• Usa todos los datos • Matemáticamente útil para análisis posteriores

⚠️ Desventajas:

• Sensible a valores extremos (outliers). Ej: salarios donde CEO gana 100× más que empleado distorsiona promedio

2️⃣ Mediana (Valor Central)

La mediana es el valor que divide los datos ordenados en dos mitades iguales: 50% por debajo, 50% por encima.

📊 Cálculo de la mediana:

  1. 1. Ordenar datos de menor a mayor
  2. 2. Si n es impar: Mediana = dato central (posición $(n+1)/2$)
  3. 3. Si n es par: Mediana = promedio de los dos datos centrales (posiciones $n/2$ y $n/2+1$)

🔬 ¿Por qué funciona la mediana?

La mediana es robusta ante valores extremos. No importa cuán grande sea el valor máximo, la mediana solo depende de la posición, no del valor absoluto. Ideal para datos con outliers.

✅ Ventajas:

• Robusta ante valores extremos • Representa mejor datos asimétricos (ej: ingresos, precios viviendas)

⚠️ Desventajas:

• No usa información de todos los datos, solo posición • No útil para álgebra avanzada

3️⃣ Moda (Valor Más Frecuente)

La moda es el dato que aparece con mayor frecuencia en el conjunto.

📊 Tipos de distribución según moda:

  • • Unimodal: Un solo valor más frecuente
  • • Bimodal: Dos valores con frecuencia máxima (ej: edades en parque: niños y adultos mayores)
  • • Multimodal: Tres o más modas
  • • Sin moda: Todos los valores tienen misma frecuencia

✅ Ventajas:

• Útil para datos categóricos (ej: color favorito, marca más vendida) • Fácil interpretar

⚠️ Desventajas:

• Puede no ser representativa • Puede haber múltiples modas o ninguna

💡 Ejemplo 1 (Básico): Calcular media, mediana, moda

Datos:

Notas de 6 estudiantes: {3, 5, 5, 7, 9, 11}

1. Media (promedio):

$\bar{x} = \displaystyle\frac{3+5+5+7+9+11}{6} = \frac{40}{6} = 6.67$

2. Mediana:

Datos ya ordenados: {3, 5, 5, 7, 9, 11}

n=6 (par) → Mediana = promedio posiciones 3 y 4

Mediana = $(5+7)/2 = 6$

3. Moda:

Valor que más se repite: 5 (aparece 2 veces)

Respuestas:

Media = 6.67

Mediana = 6

Moda = 5

📏 Medidas de Dispersión (¿Qué tan dispersos están los datos?)

📐 ¿Por qué medir dispersión?

Dos conjuntos pueden tener la misma media pero comportamientos muy diferentes:

  • • Grupo A: {49, 50, 51} → Media = 50, datos MUY concentrados
  • • Grupo B: {10, 50, 90} → Media = 50, datos MUY dispersos

Las medidas de dispersión cuantifican la variabilidad alrededor de la tendencia central.

1️⃣ Rango (R)

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Diferencia entre valor máximo y mínimo. Simple pero sensible a extremos.

2️⃣ Varianza (σ² o s²)

Promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media. Mide cuánto se alejan los datos del promedio.

$\sigma^2 = \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

🔬 ¿Por qué al cuadrado?

  1. 1. Las desviaciones positivas y negativas no se cancelan
  2. 2. Penaliza más los valores muy alejados (outliers tienen mayor impacto)
  3. 3. Matemáticamente útil para cálculos posteriores

3️⃣ Desviación Estándar (σ o s)

Raíz cuadrada de la varianza. Expresa dispersión en las mismas unidades que los datos originales.

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

💡 Interpretación:

  • • σ pequeña (ej: 0.5): Datos muy concentrados cerca de la media
  • • σ grande (ej: 10): Datos muy dispersos, alta variabilidad
  • • En distribución normal: ~68% datos están dentro de 1σ de la media, ~95% dentro de 2σ

💡 Ejemplo 2 (Intermedio): Calcular varianza y desviación estándar

Datos:

Tiempos de carrera (segundos): {4, 6, 8, 10}

Paso 1 [Calcular media]:

$\bar{x} = (4+6+8+10)/4 = 28/4 = 7$ segundos

Paso 2 [Calcular desviaciones]:

• $x_1 - \bar{x} = 4-7 = -3$

• $x_2 - \bar{x} = 6-7 = -1$

• $x_3 - \bar{x} = 8-7 = 1$

• $x_4 - \bar{x} = 10-7 = 3$

Paso 3 [Elevar al cuadrado]:

• $(-3)^2 = 9$

• $(-1)^2 = 1$

• $(1)^2 = 1$

• $(3)^2 = 9$

Paso 4 [Calcular varianza]:

$\sigma^2 = (9+1+1+9)/4 = 20/4 = 5$ s²

Paso 5 [Calcular desviación estándar]:

$\sigma = \sqrt{5} \approx 2.24$ segundos

Respuestas:

Varianza σ² = 5 s²

Desviación estándar σ ≈ 2.24 s

Interpretación: En promedio, los tiempos se desvían ±2.24 segundos del tiempo medio de 7 segundos

📍 Medidas de Posición: Cuartiles y Percentiles

📊 Cuartiles (Q₁, Q₂, Q₃)

Los cuartiles dividen los datos ordenados en 4 partes iguales (25% cada una).

Datos ordenados divididos en cuartiles:

├──────┼──────┼──────┼──────┤
Min   Q₁   Q₂   Q₃   Max
       25%  50%  75%

• Q₁ (primer cuartil): 25% datos abajo
• Q₂ (segundo cuartil): Mediana (50%)
• Q₃ (tercer cuartil): 75% datos abajo

🔧 Cálculo de cuartiles (método simple):

  1. 1. Ordenar datos de menor a mayor
  2. 2. Q₂ = Mediana (divide en 2 mitades)
  3. 3. Q₁ = Mediana de la mitad inferior
  4. 4. Q₃ = Mediana de la mitad superior

💡 Rango Intercuartílico (IQR):

$IQR = Q_3 - Q_1$ (mide dispersión del 50% central, robusto ante outliers)

📊 Percentiles (P₁, P₂, ..., P₉₉)

Los percentiles dividen los datos ordenados en 100 partes iguales (1% cada una).

P_k significa: k% de los datos está por debajo de ese valor.

📌 Ejemplos comunes:

  • • P₅₀ = Mediana (50% abajo, 50% arriba)
  • • P₂₅ = Q₁ (primer cuartil)
  • • P₇₅ = Q₃ (tercer cuartil)
  • • P₉₀ = "Top 10%" (solo 10% supera este valor)

💡 Aplicación práctica: PAES

Si obtuviste puntaje en percentil 85 en PAES Matemática, significa que superaste al 85% de los evaluados (solo el 15% te superó). Es una medida de posición relativa, no de puntaje absoluto.

💡 Ejemplo 3 (Avanzado): Calcular cuartiles

Datos:

Edades de 9 personas: {15, 18, 21, 23, 25, 28, 30, 35, 40}

Paso 1 [Ya ordenados]: n = 9

Paso 2 [Calcular Q₂ = Mediana]:

n=9 (impar) → Q₂ = posición (9+1)/2 = 5

Q₂ = 25 años

Paso 3 [Calcular Q₁]:

Mitad inferior: {15, 18, 21, 23}

Q₁ = (18+21)/2 = 19.5 años

Paso 4 [Calcular Q₃]:

Mitad superior: {28, 30, 35, 40}

Q₃ = (30+35)/2 = 32.5 años

Paso 5 [Rango intercuartílico]:

IQR = Q₃ - Q₁ = 32.5 - 19.5 = 13 años

Respuestas:

Q₁ = 19.5 años (25% tiene ≤ 19.5 años)

Q₂ = 25 años (mediana)

Q₃ = 32.5 años (75% tiene ≤ 32.5 años)

IQR = 13 años (dispersión 50% central)

🔔 Distribución Normal (Curva de Gauss)

📊 ¿Qué es la Distribución Normal?

La distribución normal (o Gaussiana) es la distribución de probabilidad más importante. Muchos fenómenos naturales siguen este patrón: alturas, pesos, errores de medición, puntajes tests.

🔔 DISTRIBUCIÓN NORMAL: Curva de Gauss

CAMPANA DE GAUSS (Distribución Normal) Frecuencia μ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ REGLA EMPÍRICA 68-95-99.7 68% [μ-σ, μ+σ] 95% [μ-2σ, μ+2σ] 99.7% [μ-3σ, μ+3σ]

📊 INTERPRETACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

• μ (mu): MEDIA = centro de la distribución

• σ (sigma): DESVIACIÓN ESTÁNDAR = dispersión

PORCENTAJES DE DATOS EN CADA ZONA:

1️⃣ [μ-σ, μ+σ]: ~68% de los datos (1 desviación estándar)

2️⃣ [μ-2σ, μ+2σ]: ~95% de los datos (2 desviaciones estándar)

3️⃣ [μ-3σ, μ+3σ]: ~99.7% de los datos (3 desviaciones - casi todos)

💡 EJEMPLO PAES: μ=500, σ=110

• 68% obtiene entre 390 y 610 puntos

• 95% obtiene entre 280 y 720 puntos

• 99.7% obtiene entre 170 y 830 puntos

🌍 Ejemplos naturales: alturas, pesos, errores de medición, notas exámenes masivos

Características:

  • • Simétrica: Media = Mediana = Moda
  • • Forma de campana: Máximo en el centro, disminuye hacia extremos
  • • Asintótica: Nunca toca el eje horizontal (valores extremos posibles pero muy improbables)
  • • Definida por 2 parámetros: μ (media, centro) y σ (desviación estándar, dispersión)

📏 Regla Empírica (68-95-99.7)

En una distribución normal:

  • • ~68% de datos están dentro de 1 desviación estándar de la media: [$\mu - \sigma$, $\mu + \sigma$]
  • • ~95% de datos están dentro de 2 desviaciones estándar: [$\mu - 2\sigma$, $\mu + 2\sigma$]
  • • ~99.7% de datos están dentro de 3 desviaciones estándar: [$\mu - 3\sigma$, $\mu + 3\sigma$]

💡 Ejemplo práctico:

Puntajes PAES Matemática: μ=500, σ=110. Entonces:

  • • 68% de estudiantes obtiene entre 390 y 610 puntos (500±110)
  • • 95% obtiene entre 280 y 720 puntos (500±220)
  • • 99.7% obtiene entre 170 y 830 puntos (500±330)

⚠️ ERRORES COMUNES EN ESTADÍSTICA

Error 1: Confundir media con mediana ❌

Usar "promedio" cuando datos tienen outliers extremos

Correcto: Media sensible a extremos, mediana robusta. Para salarios/ingresos/precios, mediana es mejor medida central

Error 2: Confundir varianza con desviación estándar ❌

Interpretar varianza σ² como si fuera σ

Correcto: Varianza está en unidades al cuadrado (ej: m²), desviación estándar en unidades originales (ej: m)

Error 3: Percentil = puntaje ❌

Pensar "percentil 80" significa "80 puntos"

Correcto: Percentil es posición relativa (80% te superó), NO puntaje absoluto

Error 4: Olvidar ordenar datos para mediana/cuartiles ❌

Calcular mediana sin ordenar primero

Correcto: Siempre ordenar de menor a mayor ANTES de calcular mediana, cuartiles, percentiles

📚 Referencia Curricular MINEDUC

7° Básico: Cap. 10 "Estadística descriptiva" (págs. 340-375) — Gráficos, media, moda, mediana

8° Básico: Cap. 11 "Medidas de dispersión" (págs. 380-415) — Rango, varianza muestral

1° Medio: Cap. 12 "Cuartiles y percentiles" (págs. 460-495) — Diagrama caja-bigotes, IQR, outliers

2° Medio: Cap. 11 "Desviación estándar" (págs. 400-435) — Varianza, desviación estándar poblacional vs muestral

3° Medio: Cap. 9 "Distribución normal" (págs. 315-350) — Curva de Gauss, regla empírica 68-95-99.7, z-score

ISBN: 978-956-18-xxxx-x | Currículum Nacional

💡 Tipo PAES M1: "Medidas tendencia central, desviación estándar, interpretación gráficos, percentiles contexto real (Nivel 2)"

💡 Tipo PAES M2: "Distribución normal, z-score, probabilidad áreas bajo curva, análisis datos bivariados (Nivel 3)"

💡 Tipo PAES Ciencias: "Análisis datos experimentales, error estándar, incertidumbre, validez estadística (Nivel 2-3)"

🎲 3.2 Probabilidad Clásica

Regla de Laplace

P(A) = Casos favorables / Casos posibles

💡 Ejemplo: Probabilidad de sacar un número par al lanzar un dado

Casos favorables: {2, 4, 6} = 3 casos

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 casos

Probabilidad: P = 3/6 = 1/2 = 0.5 o 50%

📜 Breve historia de la Probabilidad

Blaise Pascal y Pierre de Fermat iniciaron la teoría moderna de la probabilidad en el siglo XVII al resolver problemas de juegos de azar por correspondencia. Laplace formalizó la regla clásica (casos favorables / casos posibles) y creó la interpretación clásica-popular que todavía usamos en ejemplos equiprobables.

Desde entonces la probabilidad se ha desarrollado en dos ramas: probabilidad matemática (axiomas de Kolmogorov) y estadística aplicada (Frequentista y Bayesiana).

🔢 Combinatoria: Permutaciones y Combinaciones

Antes de calcular probabilidades conviene contar correctamente los casos. Dos conceptos clave:

  • • Permutación P(n, k): arreglos ordenados de k elementos tomados de n. Fórmula: P(n,k) = n·(n-1)·...·(n-k+1). Si k = n, P(n,n) = n!.
  • • Combinación C(n, k): subconjuntos sin orden de tamaño k. Fórmula: C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Útil cuando el orden no importa.

Ejemplo: ¿Cuántos comités de 3 personas se pueden formar a partir de 8 candidatos? C(8,3) = 8!/(3!5!) = 56.

Ejemplo con orden (perm): ¿Cuántas formas de ordenar 3 libros distintos en una repisa? P(3,3) = 3! = 6.

🔁 Teorema de Bayes (Intuición y Fórmula)

Bayes permite invertir probabilidades condicionadas: calcular P(A|B) cuando conocemos P(B|A), P(A) y P(B).

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}$$

Con frecuencia P(B) se obtiene por la ley de la probabilidad total: $$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c).$$

💡 Ejemplo Bayes (Test Médico — interpretación)

Contexto: Una enfermedad tiene prevalencia 1% en la población (P(Enf) = 0.01). Un test tiene sensibilidad 95% (P(Pos|Enf)=0.95) y especificidad 90% (P(Neg|NoEnf)=0.90 → P(Pos|NoEnf)=0.10).

Pregunta: Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté enferma, P(Enf|Pos)?

Aplicando Bayes:

P(Enf|Pos) = P(Pos|Enf)P(Enf) / P(Pos)

P(Pos) = P(Pos|Enf)P(Enf) + P(Pos|NoEnf)P(NoEnf)

P(Pos) = 0.95·0.01 + 0.10·0.99 = 0.0095 + 0.099 = 0.1085

P(Enf|Pos) = 0.0095 / 0.1085 ≈ 0.0876 ≈ 8.8%

Interpretación: Aunque el test es bastante sensible, la baja prevalencia y la tasa de falsos positivos hacen que la probabilidad posterior de enfermedad sea baja. Bayes es clave en interpretación médica y decisiones clínicas.

📚 Nota para Docente

Use diagramas de árbol o tablas de contingencia para enseñar Bayes. Relacione con tasas base (prevalencia) y muestre cómo pequeños cambios en prevalencia afectan la probabilidad posterior.

Medidas de Dispersión

  • • Rango: R = Máximo - Mínimo
  • • Varianza (σ²): Promedio de (cada dato - media)²
  • • Desviación estándar (σ): σ = √(varianza)

💡 Calcular desviación estándar de {4, 6, 8, 10}

Media: (4+6+8+10)/4 = 7

Diferencias al cuadrado: (4-7)²=9, (6-7)²=1, (8-7)²=1, (10-7)²=9

Varianza: σ² = (9+1+1+9)/4 = 5

Desviación estándar: σ = √5 ≈ 2.24

Medidas de Posición

  • • Cuartiles (Q₁, Q₂, Q₃): Dividen datos ordenados en 4 partes iguales
  • • Q₁: 25% de datos está debajo
  • • Q₂: Mediana (50%)
  • • Q₃: 75% de datos está debajo
  • • Percentiles (P₁...P₉₉): Dividen datos en 100 partes

💡 Si estás en percentil 85, ¿qué significa?

Interpretación: Superaste al 85% de los evaluados

Solo el 15% obtuvo puntajes superiores al tuyo

🎲 Variables Aleatorias

Variable cuyos valores dependen del azar (ej: número en un dado, cantidad de caras en 5 monedas)

Función de probabilidad: P(X = k) asigna probabilidad a cada valor k posible

4.2 Probabilidad

Regla de Laplace

P(A) = Casos favorables / Casos posibles

Solo cuando todos los casos son equiprobables

Probabilidad Condicionada

P(A|B) = "Probabilidad de A dado que ocurrió B"

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

  • • Sucesos independientes: P(A|B) = P(A)
  • • Sucesos dependientes: P(A|B) ≠ P(A)

💡 Extraer 2 cartas sin reemplazo, ambas As

P(1ra carta As): 4/52

P(2da carta As | 1ra fue As): 3/51

P(ambas As): (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221 ≈ 0.45%

Eventos DEPENDIENTES (la 1ra afecta la 2da)

📊 Distribución Binomial

Modela experimentos con:

  • • n ensayos independientes
  • • Cada ensayo: solo 2 resultados (éxito/fracaso)
  • • Probabilidad de éxito p constante

Ejemplo: Lanzar 10 monedas, contar cuántas salen cara

💡 Lanzar una moneda 5 veces, ¿P(3 caras)?

Modelo: Binomial con n=5, p=0.5

Fórmula: P(X=3) = C(5,3) · (0.5)³ · (0.5)²

Cálculo: 10 · 0.125 · 0.25 = 0.3125 = 31.25%

🔔 Distribución Normal

Gráfico en forma de campana. Muchos fenómenos naturales siguen esta distribución.

  • • Parámetros: media (μ) y desviación estándar (σ)
  • • 68% de datos en μ ± σ
  • • 95% de datos en μ ± 2σ
  • • 99.7% de datos en μ ± 3σ

💡 Estaturas con μ=170cm, σ=10cm

68% está entre: 160cm y 180cm (μ ± σ)

95% está entre: 150cm y 190cm (μ ± 2σ)

Una persona de 185cm: está en el top 2.5% (fuera de μ + 1.5σ)

4.3 Interpretación de Gráficos

💡 Tipos de Gráficos

• Barras: Comparar categorías (ej: ventas por mes)

• Circulares: Mostrar proporciones (ej: % de votos)

• Líneas: Tendencias en el tiempo (ej: temperatura)

• Dispersión: Relación entre 2 variables (ej: estatura vs peso)

5️⃣ DOMINIO 5: ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA (20%)

📜 Fundamentos Teóricos del Aprendizaje Matemático

🧠 Principales Teorías del Aprendizaje Matemático

El aprendizaje de las matemáticas se fundamenta en teorías constructivistas que enfatizan el rol activo del estudiante:

Jean Piaget (1896-1980): Desarrollo Cognitivo

• Etapas cognitivas: El pensamiento lógico-matemático evoluciona desde concreto (7-11 años) hasta formal-abstracto (12+ años)

• Implicancia didáctica: Adaptar complejidad al desarrollo. En Ed. Media: transición progresiva de lo concreto (manipulables) a lo abstracto (símbolos algebraicos)

• Equilibración: Aprendizaje ocurre cuando nueva información genera desequilibrio cognitivo, obligando reestructuración mental

Lev Vygotsky (1896-1934): Construcción Social

• Zona de Desarrollo Próximo (ZDP): Espacio entre lo que estudiante logra solo y lo que logra con ayuda

• Andamiaje (Scaffolding): Docente proporciona apoyos graduales que retira progresivamente

• Implicancia didáctica: Trabajo colaborativo, diálogo matemático, preguntas guía. No dar respuestas directas, sino orientar descubrimiento

Jerome Bruner (1915-2016): Aprendizaje por Descubrimiento

• Representación enactiva, icónica y simbólica: Equivalente al método CPA (Concreto-Pictórico-Abstracto)

• Curriculum en espiral: Revisitar conceptos con creciente profundidad en distintos niveles

• Implicancia didáctica: Iniciar con manipulativos, pasar a diagramas, finalizar con notación formal. Ej: fracciones con pizzas → dibujos → símbolos 3/4

David Ausubel (1918-2008): Aprendizaje Significativo

• Concepto clave: Nuevo conocimiento se "ancla" en estructuras cognitivas previas

• Organizadores previos: Activar conocimientos antes de nueva lección (ej: repaso de ecuaciones lineales antes de cuadráticas)

• Implicancia didáctica: Diagnóstico inicial, explicitación de relaciones conceptuales, mapas conceptuales

5.1 Estrategias Didácticas Específicas para Matemática

🎯 Método CPA (Concreto-Pictórico-Abstracto)

📐 Secuencia CPA: Fundamentación y Aplicación

Método basado en Bruner y Piaget. Progresión gradual desde experiencia concreta hasta simbolización formal:

  • • CONCRETO (Enactivo): Manipulación física de objetos reales. Ej: usar cubos multibase para suma de decenas y unidades
  • • PICTÓRICO (Icónico): Representación visual bidimensional. Ej: dibujar cubos, usar diagramas de barra, gráficos
  • • ABSTRACTO (Simbólico): Notación matemática formal. Ej: ecuaciones algebraicas, símbolos, fórmulas

⚠️ Error pedagógico frecuente: Saltar directo a lo abstracto sin pasar por concreto/pictórico. Resultado: memorización sin comprensión

✓ Práctica efectiva: Dedicar tiempo suficiente a cada etapa. Permitir al estudiante "jugar" con material concreto antes de formalizar

💡 Ejemplo CPA Exhaustivo: Enseñar Multiplicación de Binomios (a+b)(c+d)

FASE 1: CONCRETO

Material: Bloques de colores representando variables

  • • Bloque rojo grande = $x$, bloque rojo pequeño = 1
  • • Construir rectángulo con lados $(x+2)$ y $(x+3)$
  • • Contar bloques: 1 cuadrado $x^2$, 3 barras $x$ (horizontal), 2 barras $x$ (vertical), 6 cubitos unidad
  • • Resultado visual: $x^2 + 5x + 6$ (sin fórmula aún)

FASE 2: PICTÓRICO

Dibujo del rectángulo dividido en áreas:

Rectángulo (x+2)(x+3) dividido en áreas x² 2x 3x 6 ancho x ancho 2 altura x altura 3 Área total = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6

Estudiante dibuja rectángulo, subdivide, etiqueta áreas, suma componentes

FASE 3: ABSTRACTO

Formalización algebraica:

$(x+2)(x+3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3$

$= x^2 + 3x + 2x + 6$

$= x^2 + 5x + 6$

Regla general (FOIL): First, Outer, Inner, Last

Ahora estudiante puede aplicar distributiva sin necesitar diagrama

🎯 Estrategia Docente:

No apurar paso a fase abstracta. Verificar comprensión en cada nivel mediante preguntas: "¿Por qué esa área es $3x$?" "¿Qué representa físicamente $x^2$?"

🧩 Resolución de Problemas: Enfoque Polya

🔍 Método de Polya (4 Etapas)

George Pólya (1945) propuso estrategia sistemática para resolver problemas matemáticos:

  1. 1. COMPRENDER el problema: Leer varias veces, identificar datos, incógnita, condiciones. Reformular con propias palabras
  2. 2. IDEAR un plan: Buscar patrón, hacer diagrama, probar caso simple, usar ecuación, trabajar hacia atrás
  3. 3. EJECUTAR el plan: Aplicar estrategia elegida paso a paso, verificando cada operación
  4. 4. REVISAR: Verificar solución, comprobar coherencia, buscar método alternativo, generalizar

💡 Para docentes ECEP: Enseñar explícitamente estas etapas. No asumir que estudiantes saben "naturalmente" cómo resolver problemas

Práctica: Modelar en voz alta proceso completo con problema ejemplo. Hacer visible el pensamiento matemático

💡 Ejemplo Aplicación Polya: Problema Tipo PAES

ENUNCIADO:

Un estanque rectangular tiene largo 3 metros más que su ancho. Si el perímetro es 34 metros, ¿cuál es el área del estanque?

ETAPA 1: COMPRENDER

✓ Datos: Largo = Ancho + 3m, Perímetro = 34m

✓ Incógnita: Área del rectángulo

✓ Relaciones: Perímetro = 2(largo + ancho), Área = largo × ancho

✓ Reformulación: "Si el ancho mide $x$, el largo mide $x+3$, y $2(x + x+3) = 34$"

ETAPA 2: IDEAR PLAN

▸ Estrategia: Plantear ecuación con perímetro, despejar $x$ (ancho), luego calcular largo y área

▸ Alternativa: Probar valores (menos eficiente pero válida para verificar)

ETAPA 3: EJECUTAR

1. Perímetro: $2(x + (x+3)) = 34$

2. Simplificar: $2(2x + 3) = 34$

3. $4x + 6 = 34$

4. $4x = 28$

5. $x = 7$ metros (ancho)

6. Largo: $7 + 3 = 10$ metros

7. Área: $7 \times 10 = $ 70 m²

ETAPA 4: REVISAR

✓ Verificar perímetro: $2(7 + 10) = 2(17) = 34$ ✓

✓ Verificar condición: ¿Largo es 3m más que ancho? $10 = 7 + 3$ ✓

✓ Coherencia: Dimensiones y área son valores razonables

✓ Generalización: "Este método funciona para cualquier perímetro dado"

🎓 Reflexión pedagógica:

Docente debe modelar TODAS las etapas explícitamente, incluyendo falsos inicios ("Pensé en hacer X pero no funcionó, entonces probé Y"). Normalizar el error como parte del proceso

5.2 Aprendizaje Matemático y Análisis de Errores

🔍 Tipología de Errores Matemáticos

📊 Clasificación de Errores (Radatz, 1980; Movshovitz-Hadar, 1987)

Los errores NO son fracasos, sino ventanas al pensamiento matemático del estudiante:

  1. 1. Errores de DATOS: Lectura incorrecta del enunciado, omisión de información clave
    Ej: "El triple de un número menos 5" → estudiante calcula $3 - 5$ en lugar de $3x - 5$
  2. 2. Errores CONCEPTUALES: Malentendido fundamental del concepto matemático
    Ej: Pensar que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (generalización indebida)
  3. 3. Errores PROCEDIMENTALES: Aplicación incorrecta de algoritmo/fórmula
    Ej: Multiplicar $-2$ por $-3$ y obtener $-6$ (signo incorrecto)
  4. 4. Errores de NOTACIÓN: Uso inapropiado de símbolos matemáticos
    Ej: Escribir $3x = 3 \cdot x$ correctamente, pero luego $x3 = x + 3$ ❌
  5. 5. Errores de LÓGICA: Razonamiento incorrecto, saltos lógicos injustificados
    Ej: "Si $x^2 = 9$ entonces $x = 3$" (olvida solución negativa)

💡 Análisis Profundo de Error Conceptual: $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ ❌

ERROR OBSERVADO:

Estudiante calcula $(x+3)^2 = x^2 + 9$

1. DIAGNÓSTICO: ¿Por qué ocurre?

  • • Sobre-generalización: Aplica propiedad distributiva donde no corresponde
  • • Pensamiento: "Si $a(b+c) = ab + ac$, entonces $(a+b)^2 = a^2 + b^2$" (analogía falsa)
  • • Falta de comprensión: No interpreta $(a+b)^2$ como $(a+b)(a+b)$

2. CONSECUENCIAS del error:

  • ✗ Factorización incorrecta de trinomios cuadrados perfectos
  • ✗ Errores en fórmula cuadrática (discriminante mal expandido)
  • ✗ Problemas en geometría analítica (distancia entre puntos)

3. INTERVENCIÓN PEDAGÓGICA (3 niveles):

NIVEL 1: CONCRETO (Área geométrica)

Cuadrado de lado (a+b) a² ab ab b² ancho a ancho b altura a altura b Área total = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² ✓

Estudiante ve que hay dos rectángulos $ab$ que se omitían

NIVEL 2: NUMÉRICO (Verificación)

Probar con valores concretos:

$(2+3)^2 = 5^2 = 25$

Pero según error: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 25$ ❌

Contradicción muestra que regla es incorrecta

NIVEL 3: ALGEBRAICO (Demostración)

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

$= a(a+b) + b(a+b)$ [distributiva]

$= a^2 + ab + ba + b^2$

$= a^2 + 2ab + b^2$ ✓

El término $2ab$ es ineludible

🎯 Estrategia Preventiva:

Enseñar ANTES el error explícitamente: "Algunos piensan que $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. Vamos a demostrar juntos por qué eso NO funciona". Anticipar errores comunes normaliza la corrección

🧩 Conocimientos Previos y Progresión Curricular

📚 Secuenciación Curricular: Bases para Educación Media

Según Bases Curriculares MINEDUC, cada contenido de Ed. Media requiere prerrequisitos específicos:

Contenido Ed. Media Prerrequisitos Esenciales
Ecuaciones cuadráticas • Ecuaciones lineales
• Productos notables
• Raíces cuadradas
Funciones (concepto) • Pares ordenados
• Plano cartesiano
• Tablas de valores
Trigonometría • Triángulo rectángulo
• Teorema Pitágoras
• Razones y proporciones
Probabilidad • Fracciones
• Porcentajes
• Conteo sistemático
Volúmenes 3D • Áreas 2D
• Perímetro
• Concepto de altura

💡 Implicancia: Docente debe diagnosticar antes de avanzar. Si 30% del curso no domina prerrequisitos → nivelar con actividades remediales

5.3 Evaluación del Aprendizaje Matemático

📊 Tipos de Evaluación y su Propósito

🎯 Evaluación Diagnóstica, Formativa y Sumativa

DIAGNÓSTICA: Punto de Partida

  • • Cuándo: ANTES de iniciar unidad/contenido nuevo
  • • Propósito: Identificar conocimientos previos, detectar lagunas conceptuales
  • • Instrumentos: Prueba breve (5-10 preguntas clave), observación, preguntas orales
  • • No calificada: Su función es informativa, no punitiva
  • • Ejemplo: Antes de enseñar función cuadrática → evaluar si dominan función lineal, parábola básica

FORMATIVA: Retroalimentación Continua

  • • Cuándo: DURANTE el proceso de enseñanza-aprendizaje (cada clase)
  • • Propósito: Monitorear progreso, ajustar enseñanza, orientar al estudiante
  • • Instrumentos: Tickets de salida, preguntas de verificación, observación sistemática, auto-evaluación
  • • Calificación: Puede o no tener nota (foco en mejora, no en sanción)
  • • Retroalimentación: Debe ser específica, oportuna y accionable
  • • Ejemplo: Al final de clase sobre teorema Pitágoras → "Calcula hipotenusa de triángulo 3-4-?"

SUMATIVA: Certificación de Logros

  • • Cuándo: AL FINAL de unidad/semestre/año (cierre)
  • • Propósito: Certificar nivel de logro alcanzado, tomar decisiones (promoción, calificación)
  • • Instrumentos: Prueba escrita, proyecto final, examen comprensivo
  • • Calificada: Sí, incide en promedio final
  • • Debe evaluar: Rango completo de habilidades (conocimiento, aplicación, razonamiento)
  • • Ejemplo: Prueba final unidad "Funciones" con preguntas de niveles 1, 2 y 3 (Bloom)

💡 Ejemplo: Retroalimentación Formativa Efectiva vs Inefectiva

SITUACIÓN:

Estudiante resuelve: $\sqrt{16+9} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$ ❌

❌ RETROALIMENTACIÓN INEFECTIVA:

"Está malo. La respuesta correcta es 5."

Problemas:

  • • No identifica el error específico
  • • No explica POR QUÉ está mal
  • • No orienta cómo corregir
  • • No ofrece oportunidad de reintento

✓ RETROALIMENTACIÓN EFECTIVA:

1. Reconocer intento: "Veo que intentaste separar la raíz, lo cual es una estrategia."

2. Identificar error: "Sin embargo, la raíz de una suma NO es la suma de raíces. Esa propiedad solo funciona con productos: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$"

3. Mostrar camino correcto: "Debes primero sumar dentro del radical: $\sqrt{16+9} = \sqrt{25}$"

4. Explicar razón: "¿Por qué? Porque la raíz se aplica al resultado final de la suma, no a cada sumando por separado."

5. Verificación: "Comprueba: $\sqrt{25} = 5$ ✓. Además, si tu respuesta 7 fuera correcta, $(7)^2 = 49 \neq 16+9$ ❌"

6. Práctica guiada: "Ahora intenta tú: $\sqrt{36 + 64}$ usando el procedimiento correcto."

7. Generalización: "Recuerda siempre: √(a+b) ≠ √a + √b, pero √(a·b) = √a · √b"

🎓 Principios de Retroalimentación Efectiva:

  • ✓ Específica: Señala exactamente dónde está el error
  • ✓ Oportuna: Entregada mientras contenido está fresco (máx. 48 horas)
  • ✓ Accionable: Indica qué hacer para mejorar
  • ✓ Respetuosa: No humilla ni descalifica al estudiante
  • ✓ Orientada al crecimiento: Enfatiza que el error es parte del aprendizaje

🛠️ Recursos y Materiales Didácticos

📦 Clasificación de Recursos para Enseñanza Matemática

1. MANIPULATIVOS FÍSICOS

  • • Bloques multibase: Valor posicional, operaciones (sumas, restas con reagrupación)
  • • Regletas Cuisenaire: Fracciones, proporciones, álgebra visual
  • • Geoplano: Geometría plana, áreas, perímetros, coordenadas
  • • Tangram: Descomposición de figuras, fracciones de área
  • • Dados, monedas, cartas: Probabilidad experimental, conteo

2. TECNOLÓGICOS DIGITALES

  • • GeoGebra: Geometría dinámica, funciones, estadística (gratuito, online)
  • • Desmos: Graficador de funciones interactivo, ecuaciones
  • • PhET Simulations: Simulaciones interactivas (probabilidad, fracciones)
  • • Kahoot, Quizizz: Evaluación formativa gamificada
  • • Calculadoras gráficas: TI-84, Casio (análisis de datos, programación)

3. VISUALES Y REPRESENTACIONALES

  • • Recta numérica: Operaciones con enteros, fracciones, orden
  • • Diagramas de barra/cinta: Resolución de problemas (método Singapur)
  • • Mapas conceptuales: Relaciones entre conceptos matemáticos
  • • Infografías: Síntesis visual de procedimientos (ej: pasos para resolver ecuación)

4. CONTEXTUALIZADOS Y AUTÉNTICOS

  • • Problemas de la vida real: Cuentas de servicios, recetas de cocina, construcción
  • • Datos reales: Estadísticas deportivas, censo, clima, economía
  • • Proyectos aplicados: Diseñar plano de casa, calcular presupuesto, analizar tendencias

💡 Criterio de selección: Elegir recurso según objetivo, nivel cognitivo y disponibilidad. No usar tecnología por moda, sino cuando aporte valor real al aprendizaje

📚 Referencias Curriculares y Pedagógicas MINEDUC

Bases Curriculares: Decreto 614/2013 (7° básico a 2° medio), Decreto 193/2019 (3°-4° medio)

Progresión de Aprendizaje (PdA): Documento MINEDUC que describe niveles de logro esperados por OA

Marco para la Buena Enseñanza (MBE): Dominios B y C (Creación ambiente propicio, Enseñanza para aprendizaje)

Estándares Pedagógicos Matemática: Estándar 3 (Enseñanza), Estándar 4 (Evaluación)

💡 Para ECEP: Estos documentos son evaluados directamente. Conocer progresión curricular oficial es esencial