En la media, las funciones dejan de ser solo rectas: aparecen la cuadrática y su discriminante, la raíz cuadrada con su dominio restringido, las asíntotas, la composición y la función inversa, más el modelado con logaritmo y exponencial. En paralelo, el álgebra de ecuaciones se ensancha hacia los sistemas lineales y las inecuaciones (lineales, cuadráticas, fraccionarias y con valor absoluto). La prueba casi nunca pide una definición de memoria: te entrega una gráfica, una expresión o un problema y pide analizarlo. Aquí estudiamos en qué fijarse, con desarrollos paso a paso y casos resueltos como en el examen.
Subdominios 2.1 y 2.2 del temario Cuadrática, inversa, asíntotas, raíz, log/exp Casos tipo ECEP resueltos
Funciones y sus gráficas en el plano cartesiano: lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica.
Subdominio 2.1 · Funciones
Leer una función desde su gráfica y desde su expresión
Una función asigna a cada entrada un único valor de salida. En la media la prueba pide algo más fino que en básica: leer el comportamiento de la gráfica (hacia dónde se acerca sin tocar: las asíntotas; sus ejes y puntos de simetría), combinar funciones (composición f∘g), deshacer una función (su inversa f-1), y manejar familias concretas: la cuadrática (relacionar raíces, gráfica y parámetros vía el discriminante), la raíz cuadrada (con su dominio restringido) y los modelos logarítmico y exponencial. Cada tarjeta toma un caso y lo analiza paso a paso, atendiendo siempre al dominio y el recorrido.
2.1
Asíntotas verticales y horizontales: de la gráfica y de la expresión
Desde cero
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca tanto como se quiera sin llegar a tocarla. Hay dos tipos que la prueba pide reconocer:
Asíntota vertical (AV): una recta vertical x = a a la que la curva se aproxima disparándose hacia +∞ o −∞. En una función fraccionaria aparece donde el denominador se anula (y el numerador no), porque ahí la función "no existe" y crece sin límite.
Asíntota horizontal (AH): una recta horizontal y = b a la que la curva se aproxima cuando x se va a +∞ o −∞. Indica el valor al que "tiende" la función para entradas muy grandes.
Ejemplo guía: en f(x) = 1/(x − 2), el denominador se anula en x = 2 → AV: x = 2; y al crecer x, el cociente se hace cada vez más pequeño acercándose a cero → AH: y = 0.
Figura 1. La hipérbola f(x) = 1/(x − 2) se pega a dos rectas sin tocarlas: la vertical x = 2 (donde el denominador se anula) y la horizontal y = 0 (a la que tiende cuando x crece).
Paso 1 (vertical). Igualo el denominador a cero: x + 3 = 0 → x = −3. El numerador en x = −3 vale 2(−3)+1 = −5 ≠ 0, así que sí hay AV: x = −3.
Paso 2 (horizontal). Numerador y denominador tienen el mismo grado (1). La AH es el cociente de los coeficientes principales: 2/1 = 2 → AH: y = 2.
Regla práctica para la AH de una fracción de polinomios: si los grados son iguales, y = cociente de coeficientes principales; si el de arriba es menor, y = 0.
El error típico: confundir AV con AH
La vertical sale del denominador (un valor de x prohibido: x = a); la horizontal sale del comportamiento al infinito (un valor de y: y = b). No las cruces: "x = 2" jamás es una asíntota horizontal y "y = 0" jamás es vertical. Pregúntate qué letra está fija: si es x, la asíntota es vertical; si es y, horizontal.
Auto-chequeo Halla las asíntotas de f(x) = 5/(x − 4).
Denominador cero: x − 4 = 0 → AV: x = 4. Al crecer x, el cociente tiende a cero (grado de arriba menor que el de abajo) → AH: y = 0.
Pregunta tipo ECEP
Se analiza la función f(x) = (3x − 1)/(x − 2). ¿Cuáles son sus asíntotas vertical y horizontal?
A) Vertical x = 3 y horizontal y = 2.
B) Vertical y = 2 y horizontal x = 3.
C) Vertical x = 2 y horizontal y = 0.
D) Vertical x = 2 y horizontal y = 3.
Correcta: D. El denominador se anula en x = 2 (y el numerador ahí vale 3·2−1 = 5 ≠ 0): AV: x = 2. Numerador y denominador son de grado 1, así que la AH es el cociente de coeficientes principales 3/1: AH: y = 3. A toma el 3 del numerador como AV, pero la AV sale del denominador. B intercambia los roles (pone y en la vertical y x en la horizontal). C usa y = 0, que solo valdría si el grado de arriba fuera menor que el de abajo.
2.1
Composición de funciones: (f ∘ g)(x)
Desde cero
Componer dos funciones es encadenarlas: la salida de una se vuelve la entrada de la otra. La notación (f ∘ g)(x) se lee "f de g de x" y se calcula de adentro hacia afuera: primero g(x), y ese resultado se mete en f. En símbolos, (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
El orden importa: en general f ∘ g no es lo mismo que g ∘ f. Lo de más a la derecha se aplica primero.
Truco para no equivocarse: en f(g(x)), en la fórmula de f reemplazo cada x por toda la expresión de g(x).
Figura 2. La composición como una cadena: la entrada x pasa primero por g y el resultado g(x) entra a f. Se lee y se calcula de adentro hacia afuera.
Ejemplo resuelto: f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x − 3
(f ∘ g)(x) = f(g(x)). Reemplazo en f cada x por g(x) = 2x − 3: f(2x − 3) = (2x − 3)2 + 1.
Comprobación en x = 2:g(2) = 1, f(1) = 12+1 = 2. Con la fórmula: 4·4 − 12·2 + 10 = 16 − 24 + 10 = 2. ✓
Al revés, (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = 2(x2+1) − 3 = 2x2 − 1: distinto. El orden no es intercambiable.
El error típico: invertir el orden
Mucha gente calcula g(f(x)) cuando le piden f(g(x)). En (f ∘ g), la función de más a la derecha (g) actúa primero. Lee la notación de adentro hacia afuera: f(g(x)) → primero el subrayado.
Auto-chequeo Con f(x) = x + 5 y g(x) = 3x, calcula (f ∘ g)(2).
Primero g(2) = 3·2 = 6; luego f(6) = 6 + 5 = 11. (En cambio (g ∘ f)(2) = g(7) = 21: confirma que el orden cambia el resultado.)
Pregunta tipo ECEP
Sean f(x) = x2 y g(x) = x + 4. ¿Cuál es la expresión de (f ∘ g)(x)?
A)x2 + 4
B)x2 + 16
C)(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
D)x3 + 4
Correcta: C.(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x+4) = (x+4)2, que al desarrollar es x2 + 8x + 16. A calcula g(f(x)) = x2 + 4: invierte el orden. B eleva al cuadrado solo el 4 ("cuadrado de cada término"), olvidando el doble producto 8x. D multiplica los grados como si componer fuera multiplicar.
2.1
Función inversa: algebraica y gráfica, con dominio y recorrido
Desde cero
La función inversaf-1deshace lo que hizo f: si f lleva el a al b, entonces f-1 lleva el b de vuelta al a. Por eso entradas y salidas se intercambian, y con ellas el dominio y el recorrido: el dominio de f es el recorrido de f-1, y viceversa. Cómo obtenerla algebraicamente:
Paso 1. Escribo y = f(x).
Paso 2.Despejo x en función de y.
Paso 3. Intercambio los nombres: lo despejado es f-1(x).
Gráficamente, la inversa es la reflexión de f respecto de la recta y = x: como si dobláramos el plano por esa diagonal.
Figura 3. La gráfica de f-1 es el reflejo de la de f en la recta y = x: cada punto (a, b) de f tiene su espejo (b, a) en f-1.
Ejemplo resuelto: inversa de f(x) = 2x − 6
Paso 1.y = 2x − 6.
Paso 2 (despejo x). Sumo 6: y + 6 = 2x; divido por 2: x = (y + 6)/2.
Para la cuadrática y la raíz, la inversa exige restringir el dominio: la inversa de f(x) = x2 con x ≥ 0 es f-1(x) = √x (con x ≥ 0). Y log y exponencial son inversas entre sí: la inversa de f(x) = 2x es f-1(x) = log2 x.
El error típico: confundir inversa con recíproco
La inversa f-1no es1/f(x). El "-1" aquí significa "función que deshace", no "elevado a menos uno". La inversa de f(x) = 2x − 6 es (x+6)/2, no 1/(2x − 6). Comprueba siempre con f-1(f(a)) = a.
Auto-chequeo Halla la inversa de f(x) = 3x + 1 e indica f-1(7).
Para la función afín f(x) = 4x − 8, ¿cuál es su función inversa f-1(x)?
A)f-1(x) = (x + 8)/4
B)f-1(x) = 4x + 8
C)f-1(x) = 1/(4x − 8)
D)f-1(x) = (x − 8)/4
Correcta: A. De y = 4x − 8 despejo: y + 8 = 4x → x = (y + 8)/4, así que f-1(x) = (x + 8)/4 (comprobación: f(3) = 4, f-1(4) = 12/4 = 3 ✓). B deja la función casi igual sin despejar (no deshace nada). C confunde inversa con recíproco 1/f(x). D resta el 8 en vez de sumarlo: olvida cambiar el signo al despejar.
Pregunta tipo ECEP
Un docente muestra la gráfica de una función f y la de su inversa f-1 en un mismo plano. ¿Qué relación geométrica deben cumplir ambas gráficas?
A) Son simétricas respecto del eje x.
B) Son paralelas entre sí.
C) Son simétricas respecto del eje y.
D) Son simétricas respecto de la recta y = x.
Correcta: D. Como la inversa intercambia x e y, cada punto (a, b) de f se transforma en (b, a) de f-1: eso es exactamente la reflexión respecto de la diagonal y = x. A (eje x) cambiaría el signo de y, dando −f(x), no la inversa. C (eje y) daría f(−x). B es falso: solo serían paralelas en casos triviales, no en general.
2.1
Función cuadrática: raíces, gráfica y discriminante
Desde cero
Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c (con a ≠ 0) y su gráfica es una parábola. Sus rasgos clave:
Abertura: si a > 0, abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a < 0, hacia abajo (un máximo).
Raíces (o ceros): los puntos donde corta el eje x (donde f(x) = 0). Resolverlas es resolver la ecuación de 2° gradoax2 + bx + c = 0, con la fórmula x = (−b ± √Δ) / 2a.
DiscriminanteΔ = b2 − 4ac: es el número bajo la raíz, y su signo decide cuántas raíces reales hay (cuántas veces toca el eje x).
La regla del discriminante: Δ > 0 → dos raíces distintas (corta el eje en dos puntos); Δ = 0 → una raíz doble (toca el eje en un solo punto, el vértice); Δ < 0 → ninguna raíz real (la parábola no corta el eje x).
Figura 4. El signo del discriminante y la gráfica: con Δ > 0 la parábola corta el eje x en dos puntos; con Δ = 0 lo toca en uno (vértice sobre el eje); con Δ < 0 no lo corta.
Ejemplo resuelto: raíces de x2 − 5x + 6 = 0
Paso 1 (discriminante).a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)2 − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Como Δ > 0, hay dos raíces reales distintas.
Comprobación.3 + 2 = 5 (coincide con −b/a) y 3 · 2 = 6 (coincide con c/a). ✓
La parábola y = x2 − 5x + 6 abre hacia arriba (a > 0) y corta el eje x en x = 2 y x = 3.
Figura 5. En la forma de vértice y = a(x − h)² + k, el parámetro h traslada la parábola en horizontal y k en vertical; el vértice queda en (h, k). Aquí y = x² se mueve a y = (x − 3)² + 1.
El error típico: el signo de b al cuadrado
En Δ = b2 − 4ac, el b2 siempre es positivo aunque b sea negativo: (−5)2 = 25, no −25. Y ojo con el signo de c: si c es negativo, −4ac se vuelve positivo y suma. Equivocar un signo en Δ hace creer que no hay raíces cuando sí las hay (o al revés).
Δ = 22 − 4·1·5 = 4 − 20 = −16. Como Δ < 0, no tiene raíces reales: la parábola no corta el eje x.
Pregunta tipo ECEP
Sin resolverla, se quiere saber cuántas soluciones reales tiene la ecuación x2 − 6x + 9 = 0. ¿Cuál es la respuesta correcta?
A) Dos soluciones reales distintas, porque el discriminante es positivo.
B) Una única solución real (raíz doble), porque el discriminante es cero.
C) Ninguna solución real, porque el discriminante es negativo.
D) Infinitas soluciones, porque la ecuación es una identidad.
Correcta: B.Δ = (−6)2 − 4·1·9 = 36 − 36 = 0: discriminante cero → una raíz doble (x = 3, pues x2−6x+9 = (x−3)2). La parábola toca el eje x en un solo punto. A exigiría Δ > 0. C exigiría Δ < 0; aquí es exactamente cero. D no aplica: es una ecuación de 2° grado, no una identidad.
Pregunta tipo ECEP
La gráfica de la función f(x) = ax2 + bx + c es una parábola que abre hacia abajo y no corta el eje x. ¿Qué se puede afirmar de a y del discriminante Δ?
A)a > 0 y Δ > 0.
B)a < 0 y Δ > 0.
C)a < 0 y Δ < 0.
D)a > 0 y Δ = 0.
Correcta: C. Abre hacia abajo → a < 0; no corta el eje x → no hay raíces reales → Δ < 0. A y D ponen a > 0 (abriría hacia arriba). B acierta el signo de a pero con Δ > 0 la parábola sí cortaría el eje en dos puntos, contradiciendo "no corta".
2.1
Características gráficas: ejes y puntos de simetría (funciones pares e impares)
Desde cero
La simetría de una gráfica describe cómo se "refleja" sobre sí misma. La prueba pide reconocer dos tipos y leerlos tanto en la gráfica como en la expresión algebraica:
Eje de simetría (simetría axial): una recta vertical x = h tal que cada punto de la curva tiene su reflejo al otro lado, como en un espejo. Si una función cumple f(−x) = f(x), es par y su eje de simetría es el eje y (x = 0). La parábola siempre tiene eje de simetría vertical, en x = −b/2a (pasa por el vértice).
Punto de simetría (simetría central): un punto P tal que la curva queda igual al girarla 180° en torno a él. Si una función cumple f(−x) = −f(x), es impar y su punto de simetría es el origen (0, 0).
Regla rápida para clasificar desde la fórmula: reemplaza x por −x. Si la función queda igual, es par (simétrica respecto al eje y); si cambia toda de signo, es impar (simétrica respecto al origen); si no pasa ninguna de las dos, no tiene esa simetría.
Figura. Una función par (como y = x²) es simétrica respecto al eje y: su reflejo a ambos lados coincide. Una función impar (como y = x³) es simétrica respecto al origen: gira 180° sobre sí misma.
Ejemplo resuelto: clasificar la simetría desde la fórmula
Analicemos f(x) = x² − 4 reemplazando x por −x.
Paso 1. Calculo f(−x) = (−x)² − 4 = x² − 4.
Paso 2. Comparo con f(x) = x² − 4: son idénticas, así que f(−x) = f(x).
Conclusión. Es una función par; su eje de simetría es el eje y (x = 0), que en efecto pasa por el vértice (0, −4).
Si en cambio probáramos g(x) = x³: g(−x) = (−x)³ = −x³ = −g(x), es impar (simétrica respecto al origen).
El error típico
Creer que el eje de simetría de cualquier parábola es siempre el eje y. Falso: solo lo es cuando no hay término bx. Para f(x) = x² − 6x + 5, el eje es x = −b/2a = 6/2 = 3, no x = 0. Otro error: confundir par con impar. f(x) = x³ tiene "potencia par" en apariencia, pero el exponente 3 es impar y la función es impar (simetría central), no axial.
Auto-chequeo ¿La función f(x) = x⁴ + 2x² es par, impar o ninguna? ¿Cuál es su eje o punto de simetría?
f(−x) = (−x)⁴ + 2(−x)² = x⁴ + 2x² = f(x): es par (todos los exponentes son pares). Su eje de simetría es el eje y (x = 0).
Pregunta tipo ECEP
Se analiza la función f(x) = x² − 6x + 5. ¿Cuál es la ecuación de su eje de simetría?
A)x = 0, porque toda parábola es simétrica respecto del eje y.
B)y = 5, porque el eje de simetría pasa por el coeficiente libre de la función.
C)x = 3, porque el eje pasa por el vértice y se ubica en x = −b/2a = 6/2 = 3.
D)x = 6, porque el eje de simetría coincide con el valor de −b en la función.
Correcta: C. El eje de simetría de una parábola es la recta vertical que pasa por el vértice, en x = −b/2a. Aquí a = 1, b = −6, luego x = −(−6)/(2·1) = 6/2 = 3. A solo valdría si b = 0 (no es el caso). B da una recta horizontal (y = …), que nunca puede ser el eje vertical de simetría. D olvida dividir entre 2a.
Pregunta tipo ECEP
Una función verifica que f(−x) = −f(x) para todo x de su dominio. ¿Qué característica gráfica tiene su representación?
A) Es simétrica respecto del origen; se trata de una función impar, como f(x) = x³.
B) Es simétrica respecto del eje y, porque al cambiar el signo de x la gráfica se refleja en vertical.
C) Es simétrica respecto del eje x, ya que f(−x) invierte los valores de salida.
D) No posee ninguna simetría, pues la igualdad descrita solo se cumple en funciones constantes.
Correcta: A. La condición f(−x) = −f(x) define a una función impar, cuya gráfica es simétrica respecto del origen (gira 180° sobre sí misma); x³, 1/x y sen x son ejemplos. B describe a una función par (f(−x) = f(x)), que es otra condición. C es imposible: si una gráfica fuera simétrica respecto del eje x no sería función (un mismo x tendría dos y). D es falsa: muchas funciones no constantes la cumplen.
2.1
Función raíz cuadrada: gráfica, expresión y restricción del dominio
Desde cero
La función raíz cuadradaf(x) = √x solo está definida donde el radicando no es negativo: no existe la raíz cuadrada (real) de un número negativo. Por eso su dominio se restringe: hay que exigir que lo de adentro de la raíz sea ≥ 0.
Dominio: resuelve la inecuación "radicando ≥ 0". Para f(x) = √(x − 3): x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3.
Recorrido: la raíz da valores no negativos, así que y ≥ 0 (más el desplazamiento vertical, si lo hay).
Forma de la gráfica: media parábola "acostada", que arranca en un punto y crece cada vez más lento.
Figura 6.f(x) = √(x − 3) arranca en (3, 0) y solo existe para x ≥ 3 (zona roja: prohibida). El recorrido es y ≥ 0.
Ejemplo resuelto: dominio de f(x) = √(2x − 8)
Paso 1. Exijo radicando no negativo: 2x − 8 ≥ 0.
Paso 2. Resuelvo: 2x ≥ 8 → x ≥ 4.
Conclusión.Dominio: x ≥ 4 (todos los reales desde 4 en adelante). Recorrido: y ≥ 0, pues la raíz nunca da negativos.
La gráfica arranca en (4, 0) y crece hacia la derecha. A la izquierda de 4 la función no existe.
El error típico: olvidar la restricción del dominio
Tratar a √(x − 3) como si existiera para cualquier x (por ejemplo, evaluar en x = 0) da un absurdo: √(−3) no es un número real. Siempre que veas una raíz cuadrada con x adentro, lo primero es plantear "radicando ≥ 0" para hallar dónde vive la función.
Auto-chequeo ¿Cuál es el dominio de f(x) = √(x + 5)?
x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5. Dominio: x ≥ −5. La gráfica arranca en (−5, 0) y crece hacia la derecha.
Pregunta tipo ECEP
¿Cuál es el dominio de la función f(x) = √(6 − 2x)?
A)x ≥ 3
B)x ≤ 3
C) todos los reales
D)x ≥ −3
Correcta: B. Exijo 6 − 2x ≥ 0 → 6 ≥ 2x → 3 ≥ x, es decir x ≤ 3. (Al dividir por +2 no se invierte el signo; aquí el despeje da x a la izquierda del 3.) A invierte el sentido de la desigualdad. C ignora que el radicando debe ser no negativo. D resuelve mal el despeje (cambia el coeficiente y el signo).
2.1
Modelar con función exponencial o logarítmica
Desde cero
La función exponencialf(x) = a · bx modela lo que crece (o decrece) multiplicándose por un mismo factor en cada paso: poblaciones, capital con interés compuesto, decaimiento. La logarítmica es su inversa: responde "¿a qué exponente debo elevar la base para obtener este número?".
Crecimiento exponencial: si una cantidad parte en P y se multiplica por b cada período, tras x períodos vale P · bx. Con b > 1 crece; con 0 < b < 1 decrece.
Logaritmo:logb N = x significa bx = N. Sirve para despejar el exponente (cuántos períodos para llegar a cierto valor).
Figura 7. La exponencial (y = 2ˣ) y la logarítmica (y = log₂x) son funciones inversas: sus gráficas se reflejan en la recta y = x. La exponencial pasa por (0,1) y la logarítmica, por (1,0).
Ejemplo resuelto: una población que se duplica
Una colonia de bacterias parte con 500 y se duplica cada hora. Modelemos la cantidad N tras x horas.
Paso 1. "Se duplica cada hora" → factor b = 2; valor inicial P = 500.
Si en cambio preguntan "¿cuántas horas para llegar a 4000?", se despeja el exponente con logaritmo: 2x = 8 → x = log2 8 = 3.
El error típico: confundir crecimiento lineal con exponencial
"Aumenta 500 cada hora" es lineal (500 + 500x, siempre la misma cantidad). "Se duplica cada hora" es exponencial (500 · 2x, cada vez suma más). La palabra clave es el verbo: sumar lo mismo → lineal; multiplicar por lo mismo → exponencial.
Auto-chequeo Un capital de 10.000 pesos gana 10% de interés compuesto anual. ¿Cuál es el modelo del monto tras x años?
Aumentar 10% es multiplicar por 1,1 cada año: M(x) = 10.000 · (1,1)x. Tras 2 años: 10.000 · 1,21 = 12.100 pesos. (Es exponencial, no lineal: el interés se calcula sobre el monto que crece.)
Pregunta tipo ECEP
El número de usuarios de una aplicación se triplica cada mes y hoy tiene 200 usuarios. ¿Qué función modela la cantidad de usuarios U después de x meses?
A)U(x) = 200 + 3x
B)U(x) = 200 · x3
C)U(x) = 3 · 200x
D)U(x) = 200 · 3x
Correcta: D. "Se triplica cada mes" es un factor 3 que se multiplica una vez por mes: U(x) = 200 · 3x (comprobación: mes 1 → 600, mes 2 → 1800, en efecto el triple cada vez). A es un modelo lineal (sumaría 3 por mes, no triplicaría). B usa una potencia con base x (cúbica), no exponencial. C pone el valor inicial como base elevada a x: dispara las cifras y no parte en 200 cuando x = 0.
2.1
Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales (con verificación del dominio)
Desde cero
Modelar es una cosa; resolver la ecuación es otra, y aquí aparece un cuidado nuevo: el logaritmo solo existe para argumentos positivos. Por eso, resolver una ecuación logarítmica tiene tres pasos:
Paso 1 (condición de existencia). Antes de operar, exige que todo argumento de un logaritmo sea > 0. Eso define qué soluciones son admisibles.
Paso 2 (resolver). Usa la definición logb N = c ⇔ bc = N (o las propiedades del log para juntar términos) y despeja.
Paso 3 (verificar). Comprueba cada solución en la condición del Paso 1. Las que hacen el argumento cero o negativo se descartan: son soluciones extrañas.
Para una ecuación exponencial como bx = N, se aplica logaritmo a ambos lados (o se igualan exponentes si las bases coinciden). Ahí no hay restricción de dominio, pero conviene revisar que la base sea positiva y distinta de 1.
Ejemplo resuelto: una solución que se descarta
Resolver log2(x − 3) = 2.
Paso 1 (existencia). El argumento debe ser positivo: x − 3 > 0 → x > 3. Solo servirán soluciones mayores que 3.
Paso 2 (resolver). Por definición, log2(x − 3) = 2 significa 22 = x − 3 → 4 = x − 3 → x = 7.
Con logaritmo.2x = 5 → aplico log: x = log2 5 (un número entre 2 y 3, pues 22=4 y 23=8).
El error típico: aceptar la solución extraña
Resolver bien la cuadrática y dar como respuesta el valor que hace negativo el argumento del logaritmo. log(−2) no es un número real: la condición "argumento > 0" no es un adorno, es parte de la definición. Regla de oro: en toda ecuación logarítmica, plantea el dominio antes de resolver y verifica al final.
Auto-chequeo Resuelve log3(x + 1) = 2 e indica la condición de existencia.
Existencia: x + 1 > 0 → x > −1. Resolver: 32 = x + 1 → 9 = x + 1 → x = 8. Como 8 > −1, es válida. x = 8.
Pregunta tipo ECEP
Una estudiante resuelve log2(x) + log2(x − 2) = 3 y obtiene las dos raíces x = 4 y x = −2. Concluye que el conjunto solución es {−2, 4}. ¿Cuál es la objeción correcta?
A) Ninguna: ambos valores son soluciones válidas de la ecuación.
B) Se descarta x = −2 porque hace negativos los argumentos de los logaritmos; la única solución es x = 4.
C) Se descarta x = 4 porque al sumar logaritmos solo puede quedar la raíz negativa.
D) La ecuación no tiene solución, porque un logaritmo nunca puede valer 3.
Correcta: B. La condición de existencia exige x > 0 y x − 2 > 0, es decir x > 2. La raíz x = 4 la cumple; pero x = −2 daría log2(−2), que no existe: es una solución extraña y se descarta. La única solución es x = 4. A acepta el valor inválido. C descarta el correcto. D es falsa: un logaritmo sí puede valer 3 (log2 8 = 3).
Pregunta tipo ECEP
¿Cuál es la solución de la ecuación exponencial 2x + 1 = 16?
A)x = 3
B)x = 4
C)x = 8
D)x = 15
Correcta: A. Escribo 16 = 24, así que 2x + 1 = 24 e igualo exponentes: x + 1 = 4 → x = 3 (comprobación: 24 = 16 ✓). B ($x=4$) olvida el "+1" del exponente. C ($x=8$) hace 16/2. D ($x=15$) trata la ecuación como 2x + 1 = 16, lineal, ignorando que es exponencial.
Subdominio 2.2 · Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Plantear, decidir y resolver con varias condiciones
Cuando un problema tiene dos incógnitas, se modela con un sistema de ecuaciones: dos condiciones que deben cumplirse a la vez. Geométricamente, cada ecuación lineal es una recta, y la solución es el punto donde se cortan. Pero no todo sistema tiene una solución: a veces las rectas son paralelas (no se cortan) o coinciden (infinitas soluciones). Y cuando la condición es una desigualdad, entramos a las inecuaciones: lineales, cuadráticas, fraccionarias y con valor absoluto, donde la respuesta ya no es un valor sino un intervalo. La prueba pide traducir el enunciado, decidir si hay solución pertinente y resolver con cuidado el sentido del signo.
2.2
Traducir un problema a un sistema y leer su solución
Desde cero
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones que comparten las mismas letras y deben cumplirse simultáneamente. Para modelarlo: (1) define las incógnitas con letras (por ejemplo, x e y); (2) escribe una ecuación por cada condición del problema. Su solución es el par (x, y) que satisface las dos a la vez. Hay tres posibilidades:
Una solución única: las rectas se cortan en un punto (caso normal).
Ninguna solución: rectas paralelas distintas (no se cruzan): el sistema es incompatible.
Infinitas soluciones: las dos ecuaciones describen la misma recta (una es múltiplo de la otra).
Figura 8. Cada ecuación del sistema es una recta; la solución es el punto (x, y) donde se cortan. Si fueran paralelas, no habría solución; si coincidieran, habría infinitas.
Ejemplo resuelto: del problema al sistema
"En un kiosco, 2 jugos y 3 galletas cuestan 2.700 pesos; 1 jugo y 2 galletas cuestan 1.600 pesos. ¿Cuánto vale cada uno?"
Paso 1 (incógnitas).j = precio de un jugo, g = precio de una galleta.
Paso 2 (una ecuación por condición).2j + 3g = 2700 y j + 2g = 1600.
Paso 3 (resuelvo). De la 2ª: j = 1600 − 2g. Sustituyo en la 1ª: 2(1600 − 2g) + 3g = 2700 → 3200 − 4g + 3g = 2700 → −g = −500 → g = 500; luego j = 1600 − 1000 = 600.
El modelado correcto es lo que evalúa la prueba: una ecuación por cada dato, con las incógnitas bien definidas.
En la ECEP
Muchas preguntas piden "¿cuál sistema modela la situación?" sin resolverlo. Vigila tres cosas: que cada ecuación corresponda a una condición real del enunciado, que las incógnitas sean las mismas en ambas ecuaciones, y que no se confunda cantidad con precio (un error clásico es sumar cantidades y precios en la misma ecuación).
Auto-chequeo "La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4." Escribe el sistema.
Incógnitas x e y. Sistema: x + y = 20 y x − y = 4. (Sumando ambas: 2x = 24 → x = 12, y = 8.)
Pregunta tipo ECEP
En una feria, 3 entradas de adulto y 2 de niño cuestan 13.000 pesos; y 1 entrada de adulto y 4 de niño cuestan 11.000 pesos. Si a es el precio de la entrada de adulto y n el de niño, ¿qué sistema modela la situación?
A)3a + 2n = 13.000 ; a + 4n = 11.000
B)3a + 2n = 11.000 ; a + 4n = 13.000
C)2a + 3n = 13.000 ; 4a + n = 11.000
D)3a + 2n = 13.000 ; 4a + n = 11.000
Correcta: A. Cada condición da una ecuación con las cantidades como coeficientes: "3 adultos y 2 niños = 13.000 pesos" → 3a + 2n = 13.000; "1 adulto y 4 niños = 11.000 pesos" → a + 4n = 11.000. B intercambia los totales entre las dos ecuaciones. C y D confunden los coeficientes (cuántos de cada tipo): cambian qué número acompaña a a y a n.
Pregunta tipo ECEP
Un estudiante plantea el sistema x + y = 6 ; 2x + 2y = 20 y concluye que el problema "no tiene solución". ¿Por qué es correcta su conclusión?
A) Porque ambas ecuaciones representan la misma recta, así que hay infinitas soluciones.
B) Porque las dos rectas son paralelas distintas: la segunda equivale a x + y = 10, incompatible con x + y = 6.
C) Porque las rectas se cortan en un único punto que no es entero.
D) Porque un sistema de dos ecuaciones nunca tiene solución.
Correcta: B. Al dividir la segunda por 2 queda x + y = 10, que contradice a x + y = 6 (una misma suma no puede valer 6 y 10): son rectas paralelas distintas, sin punto común, así que no hay solución. A describiría infinitas soluciones (sería el caso si la segunda fuera 2x + 2y = 12). C y D son falsas: las rectas no se cortan, y muchos sistemas sí tienen solución.
2.2
Inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones
Desde cero
Una inecuación lineal es una desigualdad con la incógnita en grado 1 (3x − 1 < 8). Se resuelve como una ecuación —operación inversa a ambos lados— con una sola regla propia: si multiplicas o divides por un número negativo, el signo se invierte (< pasa a > y viceversa). La respuesta es un intervalo. Un sistema de inecuaciones pide cumplir varias a la vez: la solución es la intersección (lo que satisface todas).
Ejemplo resuelto: −2x + 1 ≤ 7
Paso 1. Resto 1 a ambos lados: −2x ≤ 6.
Paso 2. Divido por −2: como es negativo, invierto el signo → x ≥ −3.
Solución: x ≥ −3. El error sería dejar x ≤ −3 por no invertir el signo al dividir por el negativo.
Ejemplo resuelto: sistema x > 1 y x ≤ 5
La solución es donde se cumplen ambas: los valores mayores que 1 y menores o iguales que 5. Eso es el intervalo 1 < x ≤ 5 (el 1 excluido, el 5 incluido). En la recta numérica: punto abierto en 1, cerrado en 5, y sombreado entre ambos.
Auto-chequeo Resuelve 3x + 2 > 11.
Resto 2: 3x > 9. Divido por +3 (positivo, no se invierte): x > 3. Soluciones: todos los mayores que 3, con el 3 excluido.
Pregunta tipo ECEP
¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación −3x + 5 > −4?
A)x < 3
B)x > 3
C)x < −3
D)x > −3
Correcta: A. Resto 5: −3x > −9. Divido por −3 (negativo): invierto el signo → x < 3 (comprobación: x = 0 da 5 > −4 ✓, y 0 < 3 ✓). B olvida invertir el signo al dividir por el negativo. C y D arrastran mal el −9/−3 = 3 (no −3).
2.2
Inecuaciones cuadráticas, fraccionarias y con valor absoluto
Desde cero
Cuando la inecuación no es lineal, no basta con despejar: hay que analizar el signo de una expresión por tramos. Tres tipos:
Cuadrática (x2 − 5x + 6 < 0): se hallan las raíces (donde vale 0) y se mira entre o fuera de ellas. Para una parábola que abre hacia arriba, es negativa entre las raíces y positiva fuera.
Fraccionaria ((x − 1)/(x + 2) > 0): se estudia el signo del numerador y del denominador por tramos; ojo, el denominador no puede ser cero.
Valor absoluto (|x| < 3): |x| < a significa −a < x < a (un intervalo "centrado"); |x| > a significa x < −a o x > a (dos rayos hacia afuera).
Figura 9. La inecuación cuadrática x2 − 5x + 6 < 0 (raíces 2 y 3, parábola hacia arriba): es negativa entre las raíces, así que la solución es 2 < x < 3 (abierto en ambos extremos).
Ejemplo resuelto: x2 − 5x + 6 < 0
Paso 1 (raíces).x2 − 5x + 6 = 0 tiene raíces x = 2 y x = 3 (visto antes).
Paso 2 (abertura).a = 1 > 0: la parábola abre hacia arriba, así que está por debajo del eje (negativa) solo entre las raíces.
Paso 3 (intervalo). "< 0" pide donde es negativa → 2 < x < 3 (extremos abiertos porque es desigualdad estricta).
Comprobación.x = 2,5: 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25 < 0 ✓. x = 4: 16 − 20 + 6 = 2 > 0 (fuera, correcto que no sirva).
Si en cambio pidiera "> 0", la solución sería lo de fuera: x < 2 o x > 3.
El error típico: invertir "dentro" y "fuera" del intervalo
Para una parábola hacia arriba, "< 0" (negativa) es entre las raíces y "> 0" (positiva) es fuera. Quien lo invierte responde x < 2 o x > 3 a una pregunta "< 0". Tip de seguridad: prueba un valor de cada zona (uno entre las raíces, uno fuera) y verifica el signo; eso desarma cualquier duda.
Auto-chequeo Resuelve |x| ≤ 4 e interprétala.
|x| ≤ 4 significa −4 ≤ x ≤ 4: todos los números a distancia ≤ 4 del cero, un intervalo cerrado. En la recta, puntos cerrados en −4 y 4 y sombreado entre ellos.
Pregunta tipo ECEP
¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación cuadrática x2 − x − 6 > 0?
A)−2 < x < 3
B)x < −2 o x > 3
C)2 < x < 3
D)x < −3 o x > 2
Correcta: B. Las raíces de x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) son x = 3 y x = −2. La parábola abre hacia arriba (a > 0), así que es positiva fuera de las raíces: la solución de "> 0" es x < −2 o x > 3 (comprobación: x = 0 da −6 < 0, correctamente excluido; x = 4 da 6 > 0, incluido). A es la solución de "< 0" (dentro), no de "> 0". C usa raíces equivocadas (2 y 3). D confunde los valores de las raíces (intercambia −2 con −3 y 3 con 2).
Pregunta tipo ECEP
¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación con valor absoluto |x − 2| < 5?
A)x < −3 o x > 7
B)−5 < x < 5
C)−3 < x < 7
D)x > 7
Correcta: C.|x − 2| < 5 equivale a −5 < x − 2 < 5; sumando 2 a los tres miembros: −3 < x < 7 (comprobación: x = 0 da |−2| = 2 < 5 ✓, y está en el intervalo). A es la solución de "> 5" (dos rayos hacia afuera), no de "< 5". B olvida desplazar por el −2 de adentro (resuelve |x| < 5). D toma solo un lado del intervalo.
2.2
Inecuaciones en el plano: región factible y optimización
Desde cero
Hasta ahora las inecuaciones vivían en la recta (una variable). Con dos variables (x e y) cada inecuación lineal se grafica en el plano como un semiplano: todo lo que queda a un lado de una recta. Cuando hay varias restricciones a la vez (un sistema), la solución es la intersección de todos los semiplanos: una zona llamada región factible.
Graficar una inecuación. Dibuja la recta frontera (cambiando ≤ por =); luego elige un punto de prueba (el (0,0) si no está sobre la recta) y mira si cumple la desigualdad: si sí, se sombrea su lado; si no, el otro.
Restricciones típicas. En problemas de producción casi siempre van x ≥ 0 e y ≥ 0 (no se fabrican cantidades negativas), más las condiciones de recursos (horas, material).
Optimizar. Para maximizar una ganancia o minimizar un costo, el óptimo está siempre en un vértice de la región factible: se evalúa la función objetivo en cada vértice y se elige el mejor.
Figura 10. La región factible (zona sombreada) es la intersección de los semiplanos que definen las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0 y las de recursos. El valor óptimo de la función objetivo se alcanza en uno de sus vértices.
Ejemplo resuelto: plantear las restricciones
Una fábrica produce x sillas e y mesas. Cada silla usa $2$ horas de trabajo y cada mesa $5$; se dispone de a lo más $40$ horas. Además no se pueden producir cantidades negativas. Escribamos el sistema de restricciones.
Horas: $2x + 5y \le 40$ (lo usado no puede pasar de lo disponible).
No negatividad: $x \ge 0$ y $y \ge 0$.
El sistema es 2x + 5y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0. Su gráfica en el plano (un triángulo con vértices $(0,0)$, $(20,0)$ y $(0,8)$) es la región factible: cada punto entero de ella es un plan de producción posible.
El error típico: confundir "a lo más" con "exactamente"
Escribir 2x + 5y = 40 (igualdad) cuando el enunciado dice "a lo más $40$ horas": eso obligaría a usar todas las horas, cuando en realidad se permite usar menos (de ahí el ≤). Y no olvides las restricciones de no negatividad (x ≥ 0, y ≥ 0): sin ellas, la región se extendería a cuadrantes sin sentido físico.
Auto-chequeo ¿El punto $(3, 4)$ pertenece a la región definida por 2x + 5y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0?
Reemplazo: 2(3) + 5(4) = 6 + 20 = 26 ≤ 40 ✓, y 3 ≥ 0, 4 ≥ 0 ✓. Sí, el punto $(3,4)$ está en la región factible.
Pregunta tipo ECEP
Un taller arma x bicicletas e y patinetas. Cada bicicleta requiere $3$ unidades de aluminio y cada patineta $1$; hay como máximo $30$ unidades de aluminio. No se fabrican cantidades negativas. ¿Qué sistema de inecuaciones modela las restricciones?
A)3x + y ≤ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
B)3x + y = 30 ; x > 0 ; y > 0
C)x + 3y ≤ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
D)3x + y ≥ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Correcta: A. Cada bicicleta gasta $3$ y cada patineta $1$: el aluminio usado es 3x + y, y "como máximo $30$" da 3x + y ≤ 30; más x ≥ 0, y ≥ 0. B usa igualdad (obliga a gastar todo) y excluye el $0$. C intercambia los coeficientes (pone $3$ a la patineta). D invierte el sentido: ≥ 30 exigiría gastar al menos $30$, imposible si solo hay $30$.
Pregunta tipo ECEP
En un problema de producción con la región factible ya dibujada (un polígono en el primer cuadrante), se quiere maximizar la gananciaG = 4x + 3y. ¿Dónde se debe buscar el valor máximo?
A) En el centro de la región factible, porque ahí caben más combinaciones.
B) En cualquier punto del interior, ya que todos dan la misma ganancia.
C) En uno de los vértices de la región factible, evaluando G en cada uno y eligiendo el mayor.
D) En el punto más alejado del origen, sin importar si pertenece a la región.
Correcta: C. En programación lineal, el óptimo de una función objetivo lineal sobre una región factible poligonal se alcanza siempre en un vértice (o en un lado completo, pero siempre incluyendo vértices). Se evalúa G = 4x + 3y en cada vértice y se toma el mayor. A y B son falsas: la ganancia cambia punto a punto y crece hacia el borde, no es constante ni máxima en el centro. D ignora que el punto debe pertenecer a la región (cumplir las restricciones).
