Matemática Educación Media

Usando leyes de exponentes: (2³ · 2⁵) / 2⁴ = 2³⁺⁵ / 2⁴ = 2⁸ / 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴. Reglas aplicadas: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ y aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

[REVISADA] Factorizando: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0. Por lo tanto x = 2 o x = 3. Verificación: (2)² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓ y (3)² - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓.

√48 = √(16·3) = 4√3; √27 = √(9·3) = 3√3; √12 = √(4·3) = 2√3. Entonces: 4√3 + 3√3 - 2√3 = (4 + 3 - 2)√3 = 5√3.

[REVISADA] Sumando ambas ecuaciones: (2x + y) + (x - y) = 10 + 2 → 3x = 12 → x = 4. Luego y = 2 (sustituyendo en la segunda ecuación). Verificación: 2(4) + 2 = 10 ✓ y 4 - 2 = 2 ✓.

Es una diferencia de cuadrados: a² - b² = (a - b)(a + b). Entonces x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3). Verificación: (x - 3)(x + 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 ✓.

[REVISADA] 3x - 5 > 7 → 3x > 7 + 5 → 3x > 12 → x > 4. El sentido de la desigualdad se mantiene porque dividimos por número positivo (3).

Calculamos el discriminante: Δ = b² - 4ac = (3)² - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31. Como Δ < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas conjugadas).

[REVISADA] (x² - 4) / (x - 2) = [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2) = x + 2 (con x ≠ 2). Se factoriza el numerador como diferencia de cuadrados y se simplifica.

Por Teorema de Pitágoras: c² = a² + b² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → c = √169 = 13 cm. Este es un triángulo pitagórico clásico (5-12-13).

Área trapecio = [(B + b) · h] / 2 = [(10 + 6) · 8] / 2 = (16 · 8) / 2 = 128 / 2 = 64 cm².

[REVISADA] La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: (1:3)² = 1:9. Entonces Área_mayor = 4 · 9 = 36 cm².

V = π · r² · h = 3.14 · 3² · 5 = 3.14 · 9 · 5 = 3.14 · 45 = 141.3 cm³.

[REVISADA] Por Teorema de Thales: 4/6 = 6/x → 4x = 36 → x = 9 cm. Los segmentos correspondientes son proporcionales.

La traslación mueve la figura sin rotarla ni reflejarla, manteniendo su orientación. Las reflexiones y rotaciones de 180° invierten la orientación.

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unidades. Es un triángulo 3-4-5.

Media = (12 + 15 + 18 + 20 + 25) / 5 = 90 / 5 = 18.

[REVISADA] Ordenando: {3, 5, 8, 10, 12, 15, 20}. La mediana es el valor central (posición 4): 10.

[REVISADA] Números pares: {2, 4, 6} → 3 casos favorables. Total de casos: 6. P(par) = 3/6 = 1/2.

Si 50 estudiantes son el 25%, entonces: 50 = 0.25 · Total → Total = 50 / 0.25 = 200 estudiantes.

La dispersión mide qué tan alejados están los datos de su media. D tiene el rango más amplio (2 a 18, rango=16) y datos más dispersos. A no tiene dispersión (σ=0).

[REVISADA] P(2 caras) = P(cara) · P(cara) = 1/2 · 1/2 = 1/4. Espacio muestral: {CC, CS, SC, SS} → 1 caso favorable de 4.

La moda es el valor que más se repite. El 7 aparece 4 veces, más que cualquier otro valor.

Después de sacar 1 roja, quedan 2 rojas y 5 azules (total 7 bolas). P(roja | ya salió roja) = 2/7.

[REVISADA] Una función lineal tiene la forma y = mx + n (grado 1). Solo B cumple: y = 2x - 5 (m=2, n=-5).

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (11 - 3) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2.

[REVISADA] En la forma y = (x - h)² + k, el vértice es (h, k). Aquí h = 3 y k = 2, entonces vértice = (3, 2).

f(2) = 2(2)² - 3(2) + 1 = 2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3.

Para que la raíz cuadrada esté definida en los reales, necesitamos x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5. Dominio: [5, +∞).

Una función exponencial tiene la forma y = a · b^x con b > 0, b ≠ 1. Solo C cumple: y = 2^x (base 2, exponente x).

Si abre hacia abajo (a < 0), el vértice es un MÁXIMO. El valor máximo es la coordenada y del vértice: y_max = 5.

El conjugado de z = 3 + 4i es z̄ = 3 - 4i. El módulo es |z| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Como |z| = |z̄|, entonces |z| · |z̄| = 5 · 5 = 25. Propiedad: |z|² = z · z̄ = (3+4i)(3-4i) = 9 - 16i² = 9 + 16 = 25.

Asíntota vertical: denominador = 0 → x - 3 = 0 → x = 3. Asíntota horizontal: lim(x→∞) (2x+1)/(x-3) = lim(x→∞) 2x/x = 2 (grado numerador = grado denominador, entonces y = 2/1 = 2).

Para hallar f⁻¹: 1) y = (x-2)/3, 2) Despejar x: 3y = x - 2 → x = 3y + 2, 3) Intercambiar: f⁻¹(x) = 3x + 2. Verificación: f(f⁻¹(x)) = f(3x+2) = ((3x+2)-2)/3 = 3x/3 = x ✓.

Para una sola solución (raíz doble), el discriminante debe ser cero: Δ = b² - 4ac = 0. Aquí: (-6)² - 4(1)(k) = 0 → 36 - 4k = 0 → 4k = 36 → k = 9. Entonces x² - 6x + 9 = (x - 3)² = 0 tiene solución doble x = 3.

|x - 2| < 3 equivale a -3 < x - 2 < 3. Sumando 2: -3 + 2 < x < 3 + 2 → -1 < x < 5. Conjunto solución: x ∈ (-1, 5). Interpretación geométrica: números cuya distancia a 2 es menor que 3.

Usando log(a) + log(b) = log(ab): log₂(x(x+6)) = 4 → x(x+6) = 2⁴ = 16 → x² + 6x - 16 = 0. Factorizando: (x+8)(x-2) = 0 → x = -8 o x = 2. Como x debe ser positivo (dominio del logaritmo), x = 2. Verificación: log₂(2) + log₂(8) = 1 + 3 = 4 ✓.

Teorema del ángulo inscrito: el ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Entonces: ángulo central = 2 × 40° = 80°. Este es un teorema fundamental de geometría circular.

Usando tangente: tan(60°) = altura/20. Como tan(60°) = √3, entonces: √3 = h/20 → h = 20√3 m ≈ 34.64 m. La razón trigonométrica relaciona el ángulo con los catetos del triángulo rectángulo formado.

Teorema de Euclides: h² = p · q, donde p y q son las proyecciones. Entonces: h² = 4 · 9 = 36 → h = 6 cm. Este teorema relaciona la altura con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Al rotar el rectángulo alrededor de la base (3 cm), la altura (4 cm) se convierte en el radio. Volumen del cilindro: V = πr²h = π(4)²(3) = π·16·3 = 48π cm³. La rotación genera un cilindro con radio 4 y altura 3.

Área del sector = (θ/360°) · πr². Con θ = 60° y r = 6: A = (60/360) · π(6)² = (1/6) · 36π = 6π cm². El sector es 1/6 del círculo completo.

Producto de vector por escalar: k·v⃗ = k(x, y) = (kx, ky). Entonces: -2·(2, 3) = (-2·2, -2·3) = (-4, -6). El signo negativo invierte la dirección, y |k|=2 duplica la magnitud.

La desviación estándar mide dispersión: menor valor indica datos más concentrados alrededor de la media. Grupo A (σ=5) tiene datos menos variables y más homogéneos que Grupo B (σ=15), cuyos datos están más dispersos.

El tercer cuartil Q₃ (percentil 75) indica que el 75% de los datos son menores o iguales a ese valor, y el 25% son mayores. Es una medida de posición que divide los datos ordenados en cuatro partes iguales.

E(X) = Σ(x · P(X=x)) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5. El valor esperado representa el promedio a largo plazo.

P(Mujer|Aprobado) = P(Mujer ∩ Aprobado) / P(Aprobado). P(Mujer ∩ Aprobado) = 0.6 × 0.7 = 0.42. P(Aprobado) = 0.6×0.7 + 0.4×0.5 = 0.42 + 0.20 = 0.62. Entonces P(Mujer|Aprobado) = 0.42/0.62 = 42/62 ≈ 67.7%.

La distribución binomial requiere: ensayos independientes, probabilidad constante y dos resultados. En B), sin reemplazo, la probabilidad cambia en cada extracción (no es constante), por lo que NO es binomial. Las demás cumplen todos los requisitos.

X~N(μ=100, σ=15). El intervalo [85, 115] = [μ-σ, μ+σ]. Por la regla empírica 68-95-99.7, aproximadamente 68% de los datos está dentro de 1 desviación estándar de la media.

La didáctica moderna privilegia el aprendizaje significativo: partir de contextos reales permite que los estudiantes construyan el concepto de parábola desde problemas auténticos (optimización, movimiento), conectando matemática con la realidad y favoreciendo la comprensión profunda.

Según Bruner y el principio de representaciones múltiples, el aprendizaje progresa de concreto (manipulativos) → pictórico (dibujos) → abstracto (símbolos). Los modelos concretos construyen intuición visual antes de la formalización algebraica.

GeoGebra es software especializado en geometría dinámica: permite manipular, rotar, reflejar y trasladar figuras interactivamente, visualizando en tiempo real propiedades invariantes (longitudes, ángulos). Es ideal para exploración de transformaciones isométricas.

El error conceptual es aplicar distribución donde no corresponde. El estudiante sobregeneraliza (a+b)² = a² + b² incorrectamente (falta 2ab) o √(a·b) = √a · √b (sí válido) a √(a+b) ≠ √a + √b. Contraejemplo: √(9+16) = √25 = 5 ≠ √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

La retroalimentación formativa orienta hacia la estrategia correcta (hallar MCM) sin dar directamente la respuesta, promoviendo que el estudiante identifique su error y autocorrija. Wiliam: feedback efectivo cierra la brecha entre desempeño actual y esperado.

El conjugado de z = 3 + 4i es z̄ = 3 - 4i. El módulo es |z| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Como |z| = |z̄|, entonces |z| · |z̄| = 5 · 5 = 25. Propiedad: |z|² = z · z̄ = (3+4i)(3-4i) = 9 - 16i² = 9 + 16 = 25.

Asíntota vertical: denominador = 0 → x - 3 = 0 → x = 3. Asíntota horizontal: lim(x→∞) (2x+1)/(x-3) = lim(x→∞) 2x/x = 2 (grado numerador = grado denominador, entonces y = 2/1 = 2).

Para hallar f⁻¹: 1) y = (x-2)/3, 2) Despejar x: 3y = x - 2 → x = 3y + 2, 3) Intercambiar: f⁻¹(x) = 3x + 2. Verificación: f(f⁻¹(x)) = f(3x+2) = ((3x+2)-2)/3 = 3x/3 = x ✓.

Para una sola solución (raíz doble), el discriminante debe ser cero: Δ = b² - 4ac = 0. Aquí: (-6)² - 4(1)(k) = 0 → 36 - 4k = 0 → 4k = 36 → k = 9. Entonces x² - 6x + 9 = (x - 3)² = 0 tiene solución doble x = 3.

|x - 2| < 3 equivale a -3 < x - 2 < 3. Sumando 2: -3 + 2 < x < 3 + 2 → -1 < x < 5. Conjunto solución: x ∈ (-1, 5). Interpretación geométrica: números cuya distancia a 2 es menor que 3.

Usando log(a) + log(b) = log(ab): log₂(x(x+6)) = 4 → x(x+6) = 2⁴ = 16 → x² + 6x - 16 = 0. Factorizando: (x+8)(x-2) = 0 → x = -8 o x = 2. Como x debe ser positivo (dominio del logaritmo), x = 2. Verificación: log₂(2) + log₂(8) = 1 + 3 = 4 ✓.

Teorema del ángulo inscrito: el ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Entonces: ángulo central = 2 × 40° = 80°. Este es un teorema fundamental de geometría circular.

Usando tangente: tan(60°) = altura/20. Como tan(60°) = √3, entonces: √3 = h/20 → h = 20√3 m ≈ 34.64 m. La razón trigonométrica relaciona el ángulo con los catetos del triángulo rectángulo formado.

Teorema de Euclides: h² = p · q, donde p y q son las proyecciones. Entonces: h² = 4 · 9 = 36 → h = 6 cm. Este teorema relaciona la altura con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Al rotar el rectángulo alrededor de la base (3 cm), la altura (4 cm) se convierte en el radio. Volumen del cilindro: V = πr²h = π(4)²(3) = π·16·3 = 48π cm³. La rotación genera un cilindro con radio 4 y altura 3.

Área del sector = (θ/360°) · πr². Con θ = 60° y r = 6: A = (60/360) · π(6)² = (1/6) · 36π = 6π cm². El sector es 1/6 del círculo completo.

Producto de vector por escalar: k·v⃗ = k(x, y) = (kx, ky). Entonces: -2·(2, 3) = (-2·2, -2·3) = (-4, -6). El signo negativo invierte la dirección, y |k|=2 duplica la magnitud.

La desviación estándar mide dispersión: menor valor indica datos más concentrados alrededor de la media. Grupo A (σ=5) tiene datos menos variables y más homogéneos que Grupo B (σ=15), cuyos datos están más dispersos.

El tercer cuartil Q₃ (percentil 75) indica que el 75% de los datos son menores o iguales a ese valor, y el 25% son mayores. Es una medida de posición que divide los datos ordenados en cuatro partes iguales.

E(X) = Σ(x · P(X=x)) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5. El valor esperado representa el promedio a largo plazo.

P(Mujer|Aprobado) = P(Mujer ∩ Aprobado) / P(Aprobado). P(Mujer ∩ Aprobado) = 0.6 × 0.7 = 0.42. P(Aprobado) = 0.6×0.7 + 0.4×0.5 = 0.42 + 0.20 = 0.62. Entonces P(Mujer|Aprobado) = 0.42/0.62 = 42/62 ≈ 67.7%.

La distribución binomial requiere: ensayos independientes, probabilidad constante y dos resultados. En B), sin reemplazo, la probabilidad cambia en cada extracción (no es constante), por lo que NO es binomial. Las demás cumplen todos los requisitos.

X~N(μ=100, σ=15). El intervalo [85, 115] = [μ-σ, μ+σ]. Por la regla empírica 68-95-99.7, aproximadamente 68% de los datos está dentro de 1 desviación estándar de la media.

La didáctica moderna privilegia el aprendizaje significativo: partir de contextos reales permite que los estudiantes construyan el concepto de parábola desde problemas auténticos (optimización, movimiento), conectando matemática con la realidad y favoreciendo la comprensión profunda.

Según Bruner y el principio de representaciones múltiples, el aprendizaje progresa de concreto (manipulativos) → pictórico (dibujos) → abstracto (símbolos). Los modelos concretos construyen intuición visual antes de la formalización algebraica.

GeoGebra es software especializado en geometría dinámica: permite manipular, rotar, reflejar y trasladar figuras interactivamente, visualizando en tiempo real propiedades invariantes (longitudes, ángulos). Es ideal para exploración de transformaciones isométricas.

El error conceptual es aplicar distribución donde no corresponde. El estudiante sobregeneraliza (a+b)² = a² + b² incorrectamente (falta 2ab) o √(a·b) = √a · √b (sí válido) a √(a+b) ≠ √a + √b. Contraejemplo: √(9+16) = √25 = 5 ≠ √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

La retroalimentación formativa orienta hacia la estrategia correcta (hallar MCM) sin dar directamente la respuesta, promoviendo que el estudiante identifique su error y autocorrija. Wiliam: feedback efectivo cierra la brecha entre desempeño actual y esperado.