Datos y Azar · Dossier ECEP Básica Matemática - Francisco Javier Núñez Valenzuela

Subdominio 4.1 · Estadística

Leer, resumir y comparar datos

En este subdominio la prueba casi nunca te pide una definición "de memoria": te entrega un gráfico, una tabla o un conjunto de números y te pide interpretarlo, comparar dos representaciones o decidir qué medida resume mejor los datos. La estadística es el arte de transformar muchos datos sueltos en información que se puede leer de un vistazo. Por eso cada tarjeta trae al menos un ejemplo resuelto paso a paso: para que veas cómo se lee un gráfico o se calcula una medida, y no solo cuál es el resultado. Recuerda: la prueba no permite calculadora, así que conviene verificar cada cálculo.

4.1

Interpretar y comparar información en distintos gráficos

Desde cero

Un gráfico es una imagen de un conjunto de datos: muestra de un vistazo lo que en una lista de números costaría ver. Pero no todos los gráficos sirven para lo mismo: cada tipo está hecho para responder una pregunta distinta. Elegir o leer mal el gráfico es uno de los errores que la prueba más explota.

Gráfico de barras: compara cantidades entre categorías distintas (la fruta favorita, los goles por equipo). La altura de cada barra es el dato.
Gráfico de líneas: muestra cómo cambia una cantidad a lo largo del tiempo (la temperatura durante el día). Sirve para ver tendencias: si sube, baja o se mantiene.
Gráfico circular (de torta): muestra cómo se reparte un total en partes (qué porcentaje del curso prefiere cada deporte). Todo el círculo es el $100\%$.
Tallo y hoja: ordena datos numéricos conservando cada valor. El "tallo" es la primera cifra y las "hojas" son las unidades. Permite ver la forma del conjunto sin perder ningún dato.
Pictograma: usa un ícono que vale una cantidad fija (cada = 5 personas). Hay que multiplicar por el valor del ícono.

Figura 1. Cada tipo de gráfico responde una pregunta distinta: barras para comparar categorías, líneas para el cambio en el tiempo, circular para partes de un total y tallo y hoja para conservar cada dato.

Cómo leer un gráfico sin equivocarse

Antes de responder, conviene fijarse en tres cosas que la prueba esconde a propósito: (1) qué representa cada eje (categorías o tiempo en el horizontal; cantidad en el vertical), (2) la escala (¿cada cuadradito vale 1, 5 o 10?; una barra que parece "el doble" puede no serlo si la escala no parte de cero) y (3) las unidades (personas, pesos, grados). En el circular, además, la pregunta suele pedir un porcentaje o comparar dos sectores, no un valor exacto.

Ejemplo resuelto: leer un gráfico circular

Un curso de $40$ estudiantes votó su deporte favorito. El gráfico circular muestra: fútbol $50\%$, vóleibol $25\%$, básquetbol $15\%$ y natación $10\%$. ¿Cuántos eligieron vóleibol?

Paso 1. El total ($100\%$) son los $40$ estudiantes.
Paso 2. Vóleibol es el $25\%$, es decir, $\frac{1}{4}$ del total.
Paso 3. Calculo: $\frac{1}{4}$ de $40 = \frac{40}{4} = 10$ estudiantes.

Comprobación: $50\% + 25\% + 15\% + 10\% = 100\%$, así que los sectores cubren todo el círculo. Error típico: leer el $25\%$ como "$25$ estudiantes". El porcentaje hay que aplicarlo al total.

Ejemplo resuelto: tallo y hoja

Las edades de un grupo son: $12, 15, 15, 21, 23, 28, 31$. En tallo y hoja, el tallo son las decenas y la hoja las unidades:

Tallo	Hojas
$1$	$2\;\;5\;\;5$
$2$	$1\;\;3\;\;8$
$3$	$1$

La fila "$1 \mid 2\;5\;5$" se lee $12, 15, 15$. La gracia: se ve de un vistazo que casi todos están entre $10$ y $29$, sin perder ningún valor exacto (a diferencia de un gráfico de barras por intervalos).

Error típico

Confundir qué gráfico responde la pregunta. Si quieres ver cómo varió la temperatura en el día, el de barras o el circular no sirven: necesitas el de líneas (muestra el cambio en el tiempo). Si quieres ver qué parte del total es cada grupo, el circular. Y si quieres comparar categorías independientes, el de barras. Pedir "el porcentaje de cada deporte" a un gráfico de líneas no tiene sentido.

Auto-chequeo En un pictograma, cada representa $5$ personas. Una fila tiene $3$ caras y media. ¿A cuántas personas equivale?

Cada cara entera vale $5$ y la media vale $2{,}5$. Entonces $3 \times 5 + 2{,}5 = 15 + 2{,}5 = 17{,}5$. Como son personas, conviene revisar el contexto: si no caben "medias personas", probablemente la media cara representa $2$ o $3$ según lo que indique la leyenda. Lo clave: siempre multiplicar por el valor del ícono, no contar íconos.

Auto-chequeo Quieres mostrar cómo cambió la cantidad de lluvia mes a mes durante un año. ¿Qué gráfico es el más adecuado?

El de líneas: muestra la evolución en el tiempo (mes a mes), permitiendo ver si la lluvia subió, bajó o se mantuvo. Un circular solo muestra partes de un total y un tallo y hoja no ordena por tiempo.

Pregunta tipo ECEP

Una docente de 5° básico quiere que sus estudiantes representen cómo cambió la temperatura de una ciudad hora a hora durante un día, para luego describir en qué momento subió y en qué momento bajó. ¿Qué tipo de gráfico es el más pertinente para esa intención?

A) Un gráfico de líneas, porque conecta los valores en el tiempo y deja ver cuándo la temperatura sube o baja.
B) Un gráfico circular, porque reparte el total de grados del día entre las distintas horas medidas.
C) Un gráfico de barras, porque permite comparar la altura de cada hora como categorías independientes.
D) Un diagrama de tallo y hoja, porque ordena todas las temperaturas conservando cada valor exacto.

Correcta: A. La intención es ver el cambio a lo largo del tiempo; el gráfico de líneas une los puntos en orden cronológico y hace visible cuándo sube y cuándo baja. B es absurda: el circular muestra partes de un total, y "repartir grados" no tiene sentido. C trata las horas como categorías sueltas y pierde la idea de continuidad temporal. D ordena los valores, pero desordena el tiempo: no se ve la evolución hora a hora.

Pregunta tipo ECEP

Un curso de $40$ estudiantes votó su deporte favorito y los resultados se muestran en un gráfico circular: fútbol $50\%$, vóleibol $25\%$, básquetbol $15\%$ y natación $10\%$. Una estudiante afirma que "$25$ estudiantes prefieren vóleibol". ¿Qué afirmación corrige adecuadamente su lectura del gráfico?

A) Tiene razón: el sector de vóleibol marca $25$, así que son $25$ los estudiantes que lo prefieren.
B) El error es de suma: los porcentajes no llegan a $100\%$, por lo que el gráfico está mal construido.
C) El sector de vóleibol corresponde a la mitad del curso, es decir, $20$ estudiantes prefieren vóleibol.
D) El $25\%$ es una fracción del total: hay que aplicarlo a los $40$, y $\frac{1}{4}$ de $40$ son $10$ estudiantes.

Correcta: D. En un gráfico circular cada sector es un porcentaje del total, no un conteo directo: el $25\%$ debe aplicarse a los $40$ estudiantes, $\frac{1}{4}$ de $40 = 10$. A repite el error de leer el porcentaje como número de personas. B es falsa: $50+25+15+10 = 100\%$, el gráfico está bien. C confunde el $25\%$ con "la mitad" (eso sería el $50\%$) y además calcula mal.

4.1

Medidas de tendencia central: media, mediana y moda (datos no agrupados)

Desde cero

Cuando tienes muchos datos, una medida de tendencia central los resume en un solo número "representativo". Hay tres, y cada una dice algo distinto:

Media (o promedio): reparte el total en partes iguales. Se suma todo y se divide por la cantidad de datos: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$.
Mediana: el valor que queda justo al medio cuando los datos están ordenados. Deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima.
Moda: el valor que más se repite. Es la única que sirve para datos no numéricos (el color o el deporte más elegido).

"No agrupados" significa que trabajamos con la lista de datos uno por uno, no con intervalos.

Figura 2. Las tres medidas sobre el mismo conjunto $4, 5, 5, 6, 7, 7, 7$ dan resultados distintos: media $\approx 5{,}9$, mediana $6$ y moda $7$. Cada una "mira" los datos de otra manera.

Ejemplo resuelto: las tres medidas paso a paso

Notas de un estudiante: $4,\;5,\;5,\;6,\;7,\;7,\;7$. Calculemos las tres.

Media. Sumo todo: $4+5+5+6+7+7+7 = 41$. Hay $n=7$ datos. Entonces $\bar{x} = \dfrac{41}{7} \approx 5{,}9$.
Mediana. Ya están ordenados; con $7$ datos, el del medio es el cuarto: $4,\;5,\;5,\;\mathbf{6},\;7,\;7,\;7$. Mediana $= 6$.
Moda. El valor que más se repite es el $7$ (tres veces). Moda $= 7$.

Fíjate que las tres dan números distintos ($5{,}9$ ; $6$ ; $7$): cada una "mira" el conjunto de otra manera.

Mediana con cantidad par de datos

Si hay un número par de datos, no hay uno solo "al medio": la mediana es el promedio de los dos centrales. Para $3,\;5,\;8,\;10$ (cuatro datos, ordenados), los centrales son $5$ y $8$, así que la mediana es $\dfrac{5+8}{2} = 6{,}5$. Y siempre, siempre: ordenar primero; sobre datos desordenados la mediana sale mal.

Error típico: la media se "tuerce" con valores atípicos

Sueldos de un equipo: $300,\;320,\;310,\;330$ y el jefe gana $5\,000$ (en miles). La media da más de $1\,000$, un número que nadie gana: el valor atípico la arrastra hacia arriba. La mediana ($320$) representa mucho mejor al grupo. Confundir media con mediana cuando hay datos extremos es el error que la prueba más busca.

Auto-chequeo Datos: $2,\;3,\;3,\;3,\;9$. Calcula media, mediana y moda.

Media $= \frac{2+3+3+3+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$. Mediana (ordenados, el del medio de cinco datos, el tercero) $= 3$. Moda $= 3$ (se repite tres veces). El $9$ "tira" la media hacia arriba: por eso la media ($4$) es mayor que la mediana y la moda ($3$).

Auto-chequeo En una bodega hay $40$ cajones con $19$ naranjas en promedio y $20$ cajones con $25$ naranjas en promedio. ¿Cuál es el promedio de naranjas por cajón de toda la bodega?

No se promedia $\frac{19+25}{2}$: hay distinto número de cajones. Total de naranjas $= 40\times19 + 20\times25 = 760 + 500 = 1\,260$. Total de cajones $= 60$. Promedio $= \frac{1\,260}{60} = 21$ naranjas. Es un promedio ponderado: pesa más el grupo con más cajones.

Pregunta tipo ECEP

En una bodega se guardan $60$ cajones con naranjas. $40$ de estos cajones tienen en promedio $19$ naranjas cada uno y los $20$ cajones restantes tienen en promedio $25$ naranjas cada uno. ¿Cuántas naranjas tienen en promedio los cajones de la bodega?

A) $25$ naranjas, porque es el mayor de los dos promedios y manda el grupo más cargado.
B) $21$ naranjas, sumando el total de naranjas y dividiéndolo por los $60$ cajones.
C) $22$ naranjas, promediando directamente $19$ y $25$ como $\frac{19+25}{2}$.
D) No se puede determinar, porque faltan los datos de cada cajón por separado.

Correcta: B. El promedio del total se calcula con todas las naranjas sobre todos los cajones: $\frac{40\times19 + 20\times25}{60} = \frac{1\,260}{60} = 21$. C es el error clásico: promediar los dos promedios ignora que hay más cajones en el grupo de $19$, que por eso pesa más (la respuesta debe acercarse a $19$, no quedar en el medio). A toma solo un grupo. D es falsa: los promedios de cada grupo bastan para el promedio ponderado.

Pregunta tipo ECEP

En una clase de 6° básico, los sueldos mensuales de los integrantes de un pequeño taller son (en miles de pesos): $300,\;320,\;310,\;330$ y el del dueño, $5\,000$. Un estudiante debe elegir una sola medida que represente "lo que gana un trabajador típico del taller". ¿Qué medida es la más representativa y por qué?

A) La moda, porque es el valor que más se repite entre los cinco sueldos del taller.
B) La mediana ($320$), porque el sueldo del dueño es un valor atípico que arrastra la media hacia arriba.
C) La media, porque usa todos los sueldos y por eso siempre representa mejor al conjunto.
D) El rango ($4\,700$), porque resume la situación salarial de todo el taller en un valor.

Correcta: B. El sueldo del dueño ($5\,000$) es un valor atípico que infla la media (daría más de $1\,000$, un sueldo que nadie del taller gana). La mediana ($320$, el valor central tras ordenar) no se "tuerce" con extremos y representa al trabajador típico. C cae en la trampa: la media no siempre representa mejor; con atípicos engaña. A falla porque aquí no hay un valor claramente repetido. D mide dispersión (qué tan separados están), no el valor típico.

4.1

Elegir el indicador estadístico más pertinente (incluido el rango)

Desde cero

El temario no se conforma con que calcules las medidas: pide que evalúes cuál conviene según el problema. No hay una "mejor" universal; depende de qué pregunta quieres responder. Además de las tres de tendencia central, aparece el rango:

Rango: mide la dispersión, no el centro. Es la diferencia entre el dato mayor y el menor: $\text{rango} = \text{máximo} - \text{mínimo}$. Dice qué tan "estirados" están los datos.

¿Cuál uso? Una guía rápida

Si la pregunta es…	Conviene…	Por qué
Repartir algo en partes iguales / valor "típico" sin extremos raros	Media	Usa todos los datos y los equilibra. Sensible a valores atípicos.
Hay valores muy extremos que distorsionan	Mediana	El valor central no se "tuerce" con los atípicos.
El dato más frecuente / categoría más elegida (incluso no numérica)	Moda	Es lo que "más se pide" o "más aparece".
Qué tan dispersos o parejos están los datos	Rango	Mide la separación entre el mayor y el menor.

Ejemplo resuelto: ¿qué medida diseña mejor el juego?

Un parque infantil va a comprar juegos según las edades de quienes lo visitan. Tiene las edades de $200$ niños. ¿Le conviene la media, la mediana o la moda?

Media de edad (digamos $7{,}3$ años): un número "promedio" que tal vez ningún niño tiene exactamente; no le dice para qué edad hay más demanda.
Moda de edad (digamos $5$ años): la edad que más se repite. Le dice exactamente para qué público diseñar la mayor parte de los juegos.

Conviene la moda: para tomar la decisión de qué juegos comprar, importa la edad más frecuente, no un promedio que nadie cumple.

El rango complementa, no reemplaza

Dos cursos pueden tener la misma media de notas y ser muy distintos: en uno todos sacan cerca del $5$ (rango chico, parejo) y en otro hay muchos $7$ y muchos $3$ (rango grande, disparejo). El centro no cuenta toda la historia; el rango avisa si los datos son homogéneos o no.

Auto-chequeo Una tienda de zapatos quiere saber qué talla pedir en mayor cantidad. ¿Media, mediana, moda o rango?

La moda: la talla que más se vende (la más frecuente) es la que conviene tener en stock. Una "talla promedio" como $39{,}4$ no existe como producto; el rango solo diría entre qué tallas se mueve, no cuál pedir más.

Auto-chequeo Datos: $4,\;4,\;5,\;6,\;20$. ¿Conviene la media o la mediana para representar al grupo? Calcula ambas.

Media $= \frac{4+4+5+6+20}{5} = \frac{39}{5} = 7{,}8$. Mediana $= 5$ (el central). El $20$ es un valor atípico que arrastra la media a $7{,}8$, mayor que cuatro de los cinco datos. Representa mejor la mediana ($5$).

Pregunta tipo ECEP

Un recinto de eventos infantiles está planificando rediseñar la oferta de juegos disponibles para sus asistentes, según las edades registradas de quienes lo visitan. ¿Cuál es el indicador estadístico más adecuado para considerar al momento de realizar el diseño de las remodelaciones y ajustes necesarios?

A) El rango de edad, porque entrega la diferencia entre la edad mayor y la menor de los asistentes.
B) La mediana de edad, porque señala la edad central una vez ordenadas todas las edades.
C) La moda de edad, porque indica la edad más frecuente y orienta para qué público diseñar la mayoría de los juegos.
D) El promedio de edad, porque resume todas las edades de los asistentes en un solo valor representativo.

Correcta: C. Para decidir qué juegos comprar importa la edad más frecuente (la moda): es el público mayoritario al que conviene apuntar la oferta. D (promedio) puede dar una edad que casi nadie tiene y que ningún juego atiende bien. B (mediana) ubica el centro, pero no la concentración de demanda. A (rango) solo dice entre qué edades varían los asistentes, no para cuál hay más demanda.

4.1

Población y muestra: identificar, diferenciar y ejemplificar

Desde cero

Para estudiar una característica de un grupo grande, muchas veces no se puede medir a todos: se mide a una parte y se saca una conclusión. De ahí dos conceptos clave:

Población: el conjunto completo de todos los elementos sobre los que se quiere saber o concluir algo (todos los estudiantes de básica de una comuna).
Muestra: un subconjunto de la población, el grupo que efectivamente se observa o encuesta (los estudiantes de $15$ establecimientos elegidos).

La muestra debe ser una parte representativa de la población: se estudia la muestra para inferir algo de toda la población.

Figura 3. La población es el conjunto completo sobre el que se quiere concluir; la muestra es el subconjunto que de verdad se observa. A partir de la muestra se infiere lo que ocurre en toda la población.

Parámetro vs. estadístico (el detalle fino)

Una característica medible de la población se llama parámetro (por ejemplo, el promedio real de toda la población). La misma característica calculada en la muestra se llama estadístico. La población se estudia a través de la muestra, no al revés, y la muestra nunca es más grande que la población (es una parte de ella).

Ejemplo resuelto: distinguir población y muestra

Se quiere saber el uso de los textos escolares entre los estudiantes de Enseñanza Básica de los establecimientos municipales de una comuna. Para ello se encuesta a estudiantes de $15$ de esos establecimientos.

Población: todos los estudiantes de Enseñanza Básica de los establecimientos municipales de la comuna (sobre ellos se quiere concluir).
Muestra: los estudiantes encuestados de los $15$ establecimientos (la parte observada).

Cuidado con los "casi": "estudiantes de la comuna" es demasiado amplio (incluye los no municipales) y "estudiantes que usan textos" describe un resultado, no el grupo de estudio.

Error típico: confundir la muestra con la población

Es fácil señalar como "población" al grupo que de hecho se encuestó. Pero ese grupo es la muestra. La población es el conjunto completo al que se quiere extender la conclusión, lo midamos o no. Pregúntate siempre: "¿sobre quiénes quiero concluir?" → esa es la población.

Auto-chequeo Para conocer la estatura promedio de los niños de un colegio de $600$ alumnos, se mide a $60$ de ellos. ¿Cuál es la población y cuál la muestra?

Población: los $600$ alumnos del colegio (sobre ellos quiero concluir). Muestra: los $60$ medidos (la parte observada). La estatura promedio real de los $600$ sería un parámetro; la de los $60$, un estadístico.

Auto-chequeo ¿Verdadero o falso? "El tamaño de la muestra puede ser mayor que el de la población".

Falso. La muestra es una parte de la población, así que como máximo es igual a ella, nunca mayor. Si se midió a "más" elementos, simplemente se está midiendo a toda la población (un censo), no a una muestra más grande.

Pregunta tipo ECEP

En una comuna del sur de Chile se necesita saber el uso de los textos escolares entre las y los estudiantes de Enseñanza Básica de sus establecimientos municipales. Para esto, se encuesta a estudiantes de Enseñanza Básica de $15$ establecimientos municipales de la comuna. ¿Cuál de las siguientes opciones describe a la población de este estudio?

A) Las y los estudiantes de Enseñanza Básica de los establecimientos municipales de la comuna.
B) Las y los estudiantes encuestados de los $15$ establecimientos municipales de la comuna.
C) Todas y todos los estudiantes de los establecimientos presentes en la comuna.
D) Las y los estudiantes de Enseñanza Básica que usan textos escolares.

Correcta: A. La población es el conjunto completo sobre el que se quiere concluir: todos los estudiantes de Enseñanza Básica de los establecimientos municipales de la comuna. B describe la muestra (solo los $15$ establecimientos encuestados). C es demasiado amplia: incluye establecimientos no municipales (particulares, subvencionados), fuera del estudio. D define un resultado ("los que usan textos"), no el grupo de estudio.

Subdominio 4.2 · Probabilidad

Medir lo incierto

Aquí pasamos del dato seguro al azar: medir qué tan posible es un resultado. La prueba te pone experimentos concretos (lanzar un dado, sacar una bolita, ordenar personas) y te pide listar lo que puede pasar, contar de cuántas formas, o calcular una probabilidad. Dos ideas sostienen todo: la probabilidad es un número entre $0$ (imposible) y $1$ (seguro), y se puede calcular de dos maneras —contando casos (Laplace) o midiendo lo que ocurrió (frecuencia relativa)—. Como en el subdominio anterior, cada tarjeta trae ejemplos resueltos paso a paso, sin calculadora.

4.2

Espacio muestral y eventos (sucesos)

Desde cero

Un experimento aleatorio es uno cuyo resultado no se puede predecir con certeza (lanzar un dado, sacar una carta). Dos conceptos lo describen:

Espacio muestral ($\Omega$ o $E$): el conjunto de todos los resultados posibles. Para un dado común: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Evento (o suceso): cualquier subconjunto del espacio muestral; los resultados que cumplen una condición. "Sacar un número par" es el evento $A = \{2, 4, 6\}$.

La idea clave: el evento siempre está contenido dentro del espacio muestral. El espacio muestral es "todo lo que puede pasar"; el evento es "la parte que me interesa".

Figura 4. El espacio muestral $\Omega$ reúne todos los resultados posibles (las seis caras del dado). Un evento es un subconjunto de $\Omega$: aquí $A=\{2,4,6\}$, los números pares.

Ejemplo resuelto: listar el espacio muestral

Experimento: lanzar una moneda y luego un dado. ¿Cuál es el espacio muestral?

Paso 1. La moneda da cara (C) o sello (S): $2$ resultados.
Paso 2. El dado da $1$ a $6$: $6$ resultados.
Paso 3. Combino cada cara con cada número: $\Omega = \{$C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6$\}$, en total $2\times 6 = 12$ resultados.

El evento "salió cara y número par" sería $A = \{$C2, C4, C6$\}$: tres resultados, claramente dentro de los doce posibles.

Error típico: confundir evento con espacio muestral

Que te pregunten "el espacio muestral" y respondas con un evento ("los números pares") o al revés. Truco: el espacio muestral es la lista completa de lo que puede ocurrir; el evento es una selección con una condición. Si la respuesta deja afuera resultados posibles, es un evento, no el espacio muestral.

Auto-chequeo Se lanza un dado. Escribe el espacio muestral y el evento "sacar un número mayor que $4$".

Espacio muestral: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (todo lo posible). Evento "mayor que $4$": $\{5, 6\}$ (un subconjunto de $\Omega$). El evento tiene $2$ resultados; el espacio muestral, $6$.

Auto-chequeo Una bolsa tiene bolitas roja, azul y verde. Se saca una. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral y cuál es el evento "no sacar azul"?

Espacio muestral: $\{$roja, azul, verde$\}$, $3$ elementos. Evento "no sacar azul": $\{$roja, verde$\}$, $2$ elementos. De nuevo, el evento es una parte del espacio muestral.

Pregunta tipo ECEP

Una docente de 6° básico pide a sus estudiantes que, para el experimento "lanzar un dado de seis caras", escriban en el pizarrón el espacio muestral. Un grupo escribe $\{2, 4, 6\}$. ¿Qué confusión revela la respuesta del grupo y cuál sería la corrección?

A) Confunden el espacio muestral con un evento; lo correcto es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, que reúne todos los resultados posibles.
B) Confunden el espacio muestral con la probabilidad; lo correcto es escribir $\frac{1}{2}$, que es la chance de sacar par.
C) El grupo está en lo correcto, porque el espacio muestral solo incluye los resultados favorables del experimento.
D) Confunden el espacio muestral con la cardinalidad; lo correcto es escribir $6$, la cantidad de caras del dado.

Correcta: A. El grupo escribió el evento "números pares" $\{2,4,6\}$, no el espacio muestral, que debe reunir todos los resultados posibles: $\{1,2,3,4,5,6\}$. C repite el error: el espacio muestral no es "los favorables", sino todos los posibles. B confunde con la probabilidad (un número, no un conjunto). D confunde con la cardinalidad (cuántos elementos hay, que es $6$, pero el espacio muestral es el conjunto, no el número).

4.2

Estimar la probabilidad mediante la frecuencia relativa

Desde cero

A veces no podemos calcular la probabilidad "a priori" (por ejemplo, con un dado cargado o una tachuela que cae de canto). Entonces la estimamos a partir de lo que realmente ocurrió al repetir el experimento muchas veces. Dos conceptos:

Frecuencia absoluta ($f$): cuántas veces ocurrió un resultado (salió cara $32$ veces).
Frecuencia relativa ($f_r$): esa cantidad en proporción al total de repeticiones: $f_r = \dfrac{f}{n}$, donde $n$ es el número total de veces que se repitió el experimento.

La frecuencia relativa es un número entre $0$ y $1$ (o un porcentaje) y estima la probabilidad: mientras más veces se repite el experimento, más se acerca al valor real.

Ejemplo resuelto: estimar con frecuencia relativa

Se lanza una chinche $200$ veces y cae con la punta hacia arriba $130$ veces. ¿Cuál es la probabilidad estimada de "punta arriba"?

Paso 1. Frecuencia absoluta del resultado: $f = 130$.
Paso 2. Total de repeticiones: $n = 200$.
Paso 3. Frecuencia relativa: $f_r = \dfrac{130}{200} = 0{,}65 = 65\%$.

Estimamos $P(\text{punta arriba}) \approx 0{,}65$. No es exacta (es una estimación), pero con $200$ lanzamientos es bastante confiable; con $5$ lanzamientos no lo sería.

Frecuencia relativa vs. Laplace

Son dos caminos para la misma idea. Laplace (tarjeta siguiente) se usa cuando los casos son igualmente posibles y se puede contar sin experimentar (un dado equilibrado). La frecuencia relativa se usa cuando no sabemos si son equiprobables y debemos experimentar y medir. En un dado cargado, Laplace falla (las caras no son igualmente posibles): hay que estimar con frecuencia relativa.

Error típico: confundir frecuencia absoluta con relativa

Responder "$130$" cuando piden la probabilidad. $130$ es la frecuencia absoluta (un conteo), no una probabilidad. La probabilidad estimada es la frecuencia relativa: hay que dividir por el total ($\frac{130}{200} = 0{,}65$). Una probabilidad nunca puede ser mayor que $1$.

Auto-chequeo En $50$ tiros, un jugador encestó $30$. Estima la probabilidad de que enceste.

Frecuencia relativa: $f_r = \frac{30}{50} = 0{,}6 = 60\%$. Estimamos $P(\text{encestar}) \approx 0{,}6$. Es una estimación basada en lo ocurrido; con más tiros la estimación sería más estable.

Auto-chequeo En una prueba, $8$ de $32$ estudiantes obtuvieron un $5{,}0$. ¿Cuál es la frecuencia relativa de la nota $5{,}0$?

$f_r = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$. Si eliges un estudiante al azar, la probabilidad de que tenga un $5{,}0$ se estima en $\frac{1}{4}$. (Aquí, como conocemos a todo el curso, también coincide con Laplace: $\frac{\text{con }5{,}0}{\text{total}}$.)

Pregunta tipo ECEP

Una docente entrega a cada pareja un dado y les pide lanzarlo $60$ veces, anotar cuántas veces sale cada número y luego calcular "la probabilidad estimada de cada cara". Una pareja obtuvo el número $3$ en $12$ de los $60$ lanzamientos y anota como probabilidad estimada el valor $12$. ¿Qué error cometió la pareja?

A) Anotó la frecuencia absoluta en vez de la relativa; debió dividir por el total: $\frac{12}{60} = 0{,}2$.
B) Anotó la frecuencia relativa correctamente; con $12$ aciertos el valor $12$ es la probabilidad buscada.
C) Debió multiplicar por el total de caras: $12 \times 6 = 72$, para hallar la probabilidad estimada.
D) Debió usar Laplace y anotar $\frac{1}{6}$, porque la frecuencia relativa no sirve para estimar probabilidades.

Correcta: A. El $12$ es la frecuencia absoluta (cuántas veces salió el $3$). La probabilidad estimada es la frecuencia relativa: $f_r = \frac{f}{n} = \frac{12}{60} = 0{,}2$. Una probabilidad nunca puede ser $12$ (debe estar entre $0$ y $1$). B repite el error. C inventa una operación sin sentido. D es incorrecta: justamente con un experimento real la frecuencia relativa sí sirve para estimar (y es lo que la actividad pide); Laplace daría el valor teórico solo si el dado fuera perfectamente equilibrado.

4.2

Cardinalidad del espacio muestral: el principio multiplicativo

Desde cero

Cuando un experimento tiene varias etapas, listar todos los resultados a mano se vuelve impracticable. El principio multiplicativo los cuenta sin listarlos: si una etapa puede ocurrir de $m$ maneras y otra de $n$ maneras, las dos juntas ocurren de $m \times n$ maneras. La cardinalidad del espacio muestral es, simplemente, cuántos resultados posibles hay (su número de elementos).

Figura 5. El principio multiplicativo: si una etapa tiene $2$ resultados (moneda) y la otra $6$ (dado), el total de combinaciones es $2\times 6=12$. El árbol las muestra todas, de $C\text{-}1$ a $S\text{-}6$.

Ejemplo resuelto: combinar prendas

Tengo $3$ poleras y $4$ pantalones. ¿De cuántas formas distintas puedo vestirme (una polera y un pantalón)?

Paso 1. Elegir polera: $3$ maneras.
Paso 2. Por cada polera, elegir pantalón: $4$ maneras.
Paso 3. Aplico el principio multiplicativo: $3 \times 4 = 12$ combinaciones posibles.

La cardinalidad del espacio muestral es $12$. Multiplicar es más rápido y seguro que dibujar las $12$ combinaciones una por una.

Ordenar (cuando las opciones se van agotando)

Si hay que ordenar elementos sin repetir, las opciones disminuyen en cada etapa. Para ordenar $4$ personas en una fila: la primera posición tiene $4$ candidatos, la segunda $3$ (ya se usó uno), la tercera $2$ y la última $1$. Total: $4\times3\times2\times1 = 24$ formas. Sigue siendo principio multiplicativo, pero restando una opción por etapa.

Error típico: sumar en vez de multiplicar

Ante "$3$ poleras y $4$ pantalones", responder $3 + 4 = 7$. Sumar cuenta cuántas prendas hay, no cuántas combinaciones. Cada polera se puede usar con cada uno de los $4$ pantalones, así que hay $3\times 4 = 12$ conjuntos. Las etapas que se combinan se multiplican.

Auto-chequeo Un menú ofrece $2$ entradas, $3$ platos de fondo y $2$ postres. ¿Cuántos menús completos distintos se pueden armar?

Por el principio multiplicativo: $2 \times 3 \times 2 = 12$ menús distintos. Cada entrada se combina con cada fondo y cada fondo con cada postre.

Auto-chequeo ¿De cuántas formas se pueden ordenar $3$ libros distintos en un estante?

Las opciones se agotan: $3$ para el primer lugar, $2$ para el segundo, $1$ para el último. $3\times2\times1 = 6$ formas. (Si pudieran repetirse serían $3\times3\times3$, pero al ordenar los mismos libros no se repiten.)

Pregunta tipo ECEP

En un vehículo que tiene $4$ asientos disponibles viajan $4$ personas. Si solo una de ellas sabe manejar, ¿de cuántas formas distintas se pueden ordenar en el vehículo?

A) $24$, porque se ordenan las $4$ personas libremente en los $4$ asientos.
B) $4$, porque hay $4$ asientos y cada persona ocupa uno.
C) $6$, porque la única que maneja va al volante y las otras $3$ se ordenan en los asientos restantes.
D) $120$, porque se multiplican las $5$ posiciones posibles del auto por las personas.

Correcta: C. El asiento del conductor queda fijo (solo una sabe manejar): no hay elección ahí. Quedan $3$ personas para $3$ asientos, que se ordenan de $3\times2\times1 = 6$ formas. A ignora la restricción y ordena las $4$ libremente ($4! = 24$). B confunde "cantidad de asientos" con "formas de ordenar". D ($120 = 5!$) inventa una quinta posición inexistente.

Pregunta tipo ECEP

Una docente plantea: "una heladería ofrece $4$ sabores y $2$ tipos de cono; ¿cuántos helados distintos de un sabor y un cono se pueden pedir?". Un estudiante responde $6$, sumando $4 + 2$. ¿Cuál es la intervención más pertinente para que comprenda la cardinalidad del espacio muestral?

A) Indicarle que el resultado correcto es $4$, porque manda la mayor de las dos cantidades ofrecidas.
B) Confirmar que $6$ es correcto, porque hay $4$ sabores más $2$ conos disponibles en total.
C) Pedirle que reste las opciones repetidas, ya que $4 - 2 = 2$ evita contar conos dos veces.
D) Pedirle que arme un diagrama de árbol y vea que cada sabor se combina con los $2$ conos: $4 \times 2 = 8$ helados.

Correcta: D. El error es sumar en vez de multiplicar; el diagrama de árbol lo hace visible: cada uno de los $4$ sabores se combina con cada uno de los $2$ conos, dando $4\times2 = 8$ helados distintos (principio multiplicativo). B valida el error de sumar. A y C proponen operaciones (tomar el mayor, restar) que tampoco cuentan combinaciones. Construir el árbol conecta el conteo con su significado.

4.2

Determinar la probabilidad mediante el modelo de Laplace

Desde cero

Cuando todos los resultados de un experimento son igualmente posibles (un dado equilibrado, una bolsa de bolitas idénticas), la probabilidad de un evento se calcula contando, con el modelo de Laplace:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}.$$

"Casos favorables" son los resultados que cumplen el evento; "casos posibles" son todos los del espacio muestral (su cardinalidad). El resultado siempre está entre $0$ y $1$.

La probabilidad en una recta de 0 a 1, de imposible a seguro — **Figura 6.** Toda probabilidad se ubica en una recta de $0$ (imposible) a $1$ (seguro); $\frac{1}{2}$ es "igualmente probable".

Ejemplo resuelto: bolsa de bolitas

Una bolsa tiene $3$ bolitas rojas y $1$ azul ($4$ en total, todas idénticas al tacto). ¿Cuál es $P(\text{roja})$?

Paso 1. Casos favorables (sacar roja): $3$.
Paso 2. Casos posibles (total de bolitas): $4$.
Paso 3. Aplico Laplace: $P(\text{roja}) = \dfrac{3}{4}$.

Comprobación: $P(\text{azul}) = \frac{1}{4}$, y $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ (las probabilidades de todos los resultados suman $1$). Sacar roja es probable pero no seguro.

Ejemplo resuelto: probabilidad desde una tabla de frecuencias

En una prueba de $32$ estudiantes, las notas se reparten así: $5,0 \to 8$ estudiantes; $6,0 \to 16$; $7,0 \to 8$. Al elegir uno al azar, ¿cuál es $P(\text{nota } 5{,}0)$?

Paso 1. Casos favorables (con un $5{,}0$): $8$.
Paso 2. Casos posibles (total): $32$.
Paso 3. $P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$.

Cuando cada estudiante es igualmente posible de elegir, una tabla de frecuencias se vuelve un problema de Laplace: favorable sobre total.

Error típico: aplicar Laplace cuando los casos NO son equiprobables

Laplace solo vale si todos los resultados son igualmente posibles. En un dado cargado donde el $5$ sale el doble que el resto, calcular $P(5) = \frac{1}{6}$ es un error: las caras no pesan igual. Ahí se cuentan "casos" ponderando (el $5$ cuenta doble) o se estima con frecuencia relativa. Antes de usar Laplace, pregúntate: "¿son todos igualmente posibles?".

En la ECEP

Muchas preguntas de este subdominio dan una tabla, un pictograma o una bolsa y piden una probabilidad: casi siempre es favorables sobre posibles. Lee con cuidado qué cuenta como favorable (a veces es "$5$ o $3$", que suma dos grupos) y cuál es el total. Y verifica que el resultado quede entre $0$ y $1$: si te da más que $1$, algo cuentaste mal.

Auto-chequeo Se lanza un dado equilibrado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par?

Favorables (pares): $\{2, 4, 6\}$, son $3$. Posibles: $6$. $P(\text{par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Es "igualmente probable" sacar par o impar.

Auto-chequeo Una familia de $6$ integrantes vota su destino entre opciones. Según un pictograma, $2$ eligieron la casa de un pariente. ¿Cuál es la probabilidad de que el destino elegido al azar sea esa casa?

Favorables: $2$ (los que eligieron la casa del pariente). Posibles: $6$ (los $6$ papelitos). $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Atención: el total son los $6$ votos, no la cantidad de destinos posibles.

Pregunta tipo ECEP

En una prueba de Matemática realizada a un 8° básico ($32$ estudiantes), las notas se distribuyen así: ocho estudiantes obtuvieron $5{,}0$; dieciséis obtuvieron $6{,}0$ y ocho obtuvieron $7{,}0$. Al elegir un o una estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido un $5{,}0$?

A) $\frac{1}{3}$, porque hay tres notas posibles y se elige una de ellas.
B) $\frac{1}{4}$, dividiendo los $8$ estudiantes con un $5{,}0$ entre los $32$ del curso.
C) $8$, porque ocho estudiantes obtuvieron la nota $5{,}0$ en la prueba.
D) $\frac{1}{2}$, porque el $5{,}0$ es la nota más baja de las tres registradas.

Correcta: B. Por Laplace, $P = \frac{\text{favorables}}{\text{posibles}} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$: cada estudiante es igualmente posible de elegir. A cuenta "notas posibles" en vez de estudiantes, ignorando que cada nota tiene distinta cantidad. C entrega la frecuencia absoluta ($8$), no una probabilidad (que debe estar entre $0$ y $1$). D inventa un criterio (la "nota más baja") que nada tiene que ver con contar casos.

Pregunta tipo ECEP

Una docente de 6° básico propone a sus estudiantes calcular la probabilidad de "obtener un número par" al lanzar un dado cargado, en el que la cara $6$ tiene el doble de posibilidades de salir que cualquier otra cara. Un estudiante responde $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ aplicando la fórmula de Laplace. ¿Qué observación pedagógica corresponde hacer?

A) La respuesta es correcta, porque hay tres caras pares ($2, 4, 6$) de seis posibles.
B) La respuesta es correcta, porque en todo dado la probabilidad de par siempre es $\frac{1}{2}$.
C) Conviene reforzar que Laplace exige resultados igualmente posibles; como el dado está cargado, la cara $6$ pesa más y el cálculo simple no aplica.
D) Conviene reforzar que en un dado cargado la probabilidad de par siempre es mayor que la de impar, sin necesidad de calcular.

Correcta: C. El modelo de Laplace supone que todos los resultados son igualmente posibles; en un dado cargado esa condición no se cumple (el $6$ sale el doble), así que $\frac{3}{6}$ no aplica directamente: hay que ponderar el peso de la cara $6$ o estimar con frecuencia relativa. A y B aceptan el cálculo ignorando la carga. D afirma sin fundamento que el par "siempre" será mayor: habría que calcular con los pesos reales, no suponerlo.