Geometría · Dossier ECEP Básica Matemática - Francisco Javier Núñez Valenzuela

Subdominio 3.1 · Figuras y cuerpos geométricos

Construir, clasificar y reconocer las figuras

En este subdominio la prueba te pone a razonar con las propiedades de las figuras: decidir si un triángulo se puede construir, clasificar polígonos y cuerpos por sus elementos, encontrar ejes y centros de simetría y resolver problemas rutinarios con polígonos y la circunferencia. No basta con reconocer "el dibujo": hay que aplicar las propiedades (la suma de ángulos, la desigualdad triangular, las diagonales, las caras y aristas) para justificar la respuesta. Cada tarjeta trae al menos un ejemplo resuelto paso a paso. Recuerda: la prueba no permite calculadora, así que conviene dominar los cálculos a mano.

3.1

¿Se puede construir el triángulo? Desigualdad triangular y suma de ángulos

Desde cero

No con cualquier terna de medidas se arma un triángulo. Hay dos condiciones que el temario pide manejar, una para los lados y otra para los ángulos:

Desigualdad triangular (lados). Un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$ existe solo si cada lado es menor que la suma de los otros dos: $a+b>c$, $a+c>b$ y $b+c>a$. En la práctica basta verificar que la suma de los dos lados más cortos sea mayor que el lado más largo. Si esa suma es igual al lado mayor, los lados quedan "estirados" en línea recta y no hay triángulo.
Suma de ángulos interiores. Los tres ángulos interiores de todo triángulo suman exactamente $180°$. Si te dan dos ángulos, el tercero sale restando: $\text{tercero} = 180° - (\text{ángulo}_1 + \text{ángulo}_2)$. Si los datos suman $180°$ o más entre dos de ellos, el triángulo es imposible.

Clasificación de triángulos. Según sus lados: equilátero, isósceles, escaleno. Según sus ángulos: acutángulo, rectángulo, obtusángulo — **Figura 1.** Los triángulos se clasifican de dos maneras: **según sus lados** (equilátero, isósceles, escaleno) y **según sus ángulos** (acutángulo, rectángulo, obtusángulo).

Figura 2. La desigualdad triangular: con $a+b>c$ los lados se cierran y forman triángulo (verde); con $a+b

Ejemplo resuelto: ¿se puede con estos lados?

¿Se puede construir un triángulo con lados de $5$ cm, $5$ cm y $12$ cm?

Paso 1. Identifico el lado más largo: $12$ cm. Sumo los otros dos: $5 + 5 = 10$ cm.
Paso 2. Comparo: $10 < 12$. La suma de los dos lados cortos no supera al largo.
Paso 3. Como no se cumple la desigualdad triangular ($a+b>c$), no se puede construir.

En cambio, con $4$ cm, $3$ cm y $1$ cm tampoco: $3+1=4$, que es igual (no mayor) al lado de $4$. Con $8$ cm, $3$ cm y $3$ cm tampoco: $3+3=6<8$. Una terna que sí funciona es $20$ cm, $21$ cm y $2$ cm, porque $20+2=22>21$, $21+2=23>20$ y $20+21=41>2$.

Ejemplo resuelto: el tercer ángulo

Un triángulo tiene ángulos de $90°$ y $55°$. ¿Cuánto mide el tercero?

Paso 1. Sumo los dos ángulos dados: $90° + 55° = 145°$.
Paso 2. Resto de $180°$: $180° - 145° = 35°$.

El tercer ángulo mide $35°$. Comprobación: $90° + 55° + 35° = 180°$. ✓

Error típico

Creer que cualquier terna de números sirve, o usar $a+b \ge c$ (con el "igual"). La condición es estrictamente mayor ($a+b>c$): si la suma es igual al lado mayor, los tres puntos quedan alineados y el "triángulo" es un segmento sin área. Por eso $5, 5, 10$ tampoco forma triángulo.

En la ECEP

Te dan varias ternas de medidas y preguntan con cuál se puede construir un triángulo. Truco rápido: ordena los lados de menor a mayor y verifica solo que la suma de los dos menores supere al mayor. Esa única comprobación basta. Si en cambio te dan ángulos, recuerda que deben sumar $180°$.

Auto-chequeo ¿Se puede construir un triángulo con lados $7$ cm, $4$ cm y $4$ cm?

Sí. Los dos lados menores ($4$ y $4$) suman $8$, que es mayor que el lado largo ($7$): $8 > 7$. Como se cumple la desigualdad triangular, el triángulo existe (es isósceles).

Auto-chequeo Dos ángulos de un triángulo miden $120°$ y $70°$. ¿Es posible?

No. Solo esos dos ángulos suman $120° + 70° = 190°$, que ya pasa de $180°$. No queda espacio para el tercer ángulo, así que el triángulo es imposible.

Pregunta tipo ECEP

Un docente entrega a sus estudiantes cuatro juegos de tres palitos y les pide formar un triángulo con cada juego, sin doblarlos. ¿Con cuál de las siguientes opciones de medidas de segmentos es posible construir un triángulo?

A) $4$ cm, $3$ cm y $1$ cm.
B) $20$ cm, $21$ cm y $2$ cm.
C) $5$ cm, $5$ cm y $12$ cm.
D) $8$ cm, $3$ cm y $3$ cm.

Correcta: B. Se aplica la desigualdad triangular (cada lado menor que la suma de los otros dos): en $20, 21, 2$ los dos menores suman $20+2=22>21$, así que sí se forma. A falla porque $3+1=4$ es igual (no mayor) al lado de $4$: los palitos quedan en línea recta. C falla porque $5+5=10<12$: los dos cortos no alcanzan a cerrar sobre el largo. D falla porque $3+3=6<8$. Solo B cumple la condición.

3.1

Clasificar polígonos y cuerpos según sus elementos

Desde cero

Un polígono es una figura plana cerrada formada por lados rectos. Se clasifica por su número de lados (triángulo $3$, cuadrilátero $4$, pentágono $5$, hexágono $6$…) y por sus propiedades. Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales; si no, es irregular. Sus elementos son: lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales (segmentos que unen dos vértices no consecutivos).

Cinco cuerpos geométricos rotulados: prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera, con leyenda de caras, aristas y vértices — **Figura 3.** Los **cuerpos geométricos** se distinguen por sus elementos: **caras**, **aristas** y **vértices**. El prisma y la pirámide tienen solo caras planas; el cilindro, el cono y la esfera incluyen superficies curvas.

Las medidas de ángulos en un polígono

Dos fórmulas resuelven casi todo problema de ángulos:

Qué quiero	Fórmula	Ejemplo (hexágono, $n=6$)
Suma de los ángulos interiores	$(n-2)\cdot 180°$	$(6-2)\cdot 180° = 720°$
Cada ángulo interior (si es regular)	$\dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$	$\dfrac{720°}{6} = 120°$
Cada ángulo exterior (si es regular)	$\dfrac{360°}{n}$	$\dfrac{360°}{6} = 60°$
Número de diagonales	$\dfrac{n\,(n-3)}{2}$	$\dfrac{6\cdot 3}{2} = 9$

Dato útil para recordar: el ángulo interior y el exterior contiguos son suplementarios (suman $180°$), y los ángulos exteriores de cualquier polígono suman siempre $360°$.

Figura 4. Polígonos regulares y sus diagonales (líneas punteadas). El número de diagonales crece con los lados: $3\to0$, $4\to2$, $5\to5$, $6\to9$.

Ejemplo resuelto: ángulo que falta en un pentágono

Un pentágono irregular tiene cuatro ángulos de $135°$, $108°$, $83°$ y $135°$. ¿Cuánto mide el quinto?

Paso 1. Suma total de los ángulos interiores de un pentágono ($n=5$): $(5-2)\cdot 180° = 540°$.
Paso 2. Sumo los cuatro conocidos: $135° + 108° + 83° + 135° = 461°$.
Paso 3. Resto: $540° - 461° = 79°$.

El quinto ángulo mide $79°$.

Clasificar cuerpos geométricos (3D)

Los cuerpos geométricos se describen por sus caras (las superficies planas o curvas), aristas (los bordes donde se juntan dos caras) y vértices (las esquinas). Se dividen en dos grandes familias:

Poliedros: todas sus caras son polígonos planos. Incluyen los prismas (dos bases iguales y caras laterales rectangulares) y las pirámides (una base y caras triangulares que llegan a un vértice).
Cuerpos redondos: tienen alguna superficie curva (cilindro, cono, esfera).

La red o plantilla de un cubo se pliega en el cuerpo 3D: 6 caras, 12 aristas, 8 vértices — **Figura 5.** El cubo descrito por sus elementos: $6$ caras, $12$ aristas y $8$ vértices. Su red (plantilla) se pliega para formar el cuerpo 3D.

Contar bien caras, aristas y vértices

El error más común es contar mal los elementos de un cuerpo. Un cubo tiene $6$ caras, $12$ aristas y $8$ vértices; un prisma de base triangular tiene $5$ caras, $9$ aristas y $6$ vértices. Truco para contar aristas sin perderse: cuenta las de una base, multiplica según las bases y agrega las verticales. Manipular o armar el cuerpo a partir de su red evita el conteo errado.

Auto-chequeo ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? ¿Y cuánto suman sus ángulos interiores?

Diagonales: $\frac{n(n-3)}{2} = \frac{4\cdot 1}{2} = 2$ (un cuadrilátero tiene 2 diagonales). Suma de ángulos interiores: $(4-2)\cdot 180° = 360°$.

Auto-chequeo ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene una pirámide de base cuadrada?

5 caras (la base cuadrada + 4 caras triangulares), 8 aristas (4 de la base + 4 que suben al vértice) y 5 vértices (los 4 de la base + 1 en la punta).

Pregunta tipo ECEP

En 5° básico, una docente entrega a cada grupo un cuerpo de madera (un prisma de base triangular) y les pide describirlo según sus caras, aristas y vértices, registrando los datos en una tabla. ¿Cuál de las siguientes descripciones del prisma triangular es correcta?

A) Tiene $5$ caras, $9$ aristas y $6$ vértices.
B) Tiene $6$ caras, $12$ aristas y $8$ vértices.
C) Tiene $4$ caras, $6$ aristas y $4$ vértices.
D) Tiene $5$ caras, $8$ aristas y $5$ vértices.

Correcta: A. Un prisma de base triangular tiene $2$ bases triangulares $+\ 3$ caras laterales rectangulares $=5$ caras; $3+3=6$ aristas de las dos bases más $3$ verticales $=9$ aristas; y $3+3=6$ vértices. B son los datos del cubo ($6$, $12$, $8$). C corresponde a un tetraedro (pirámide de base triangular: $4$, $6$, $4$). D son los datos de una pirámide de base cuadrada ($5$, $8$, $5$): se confundió el prisma con la pirámide.

3.1

Ejes y centros de simetría en polígonos

Desde cero

Una figura tiene un eje de simetría cuando se puede "doblar" por una recta y las dos mitades calzan exactamente. Esa recta es el eje. Una figura tiene centro de simetría cuando, al girarla $180°$ alrededor de un punto, queda idéntica a como estaba (cada parte tiene su par "al otro lado" del centro). Son dos tipos distintos de simetría: una usa una recta; el otro, un punto.

Ejes de simetría de cuadrado, rectángulo, rombo, triángulo equilátero y círculo — **Figura 6.** Ejes de simetría de las figuras: cuadrado $4$, rectángulo $2$, rombo $2$, triángulo equilátero $3$, círculo infinitos.

El número de ejes depende de la figura, y conviene tenerlo claro porque la prueba lo pregunta directo:

Figura	Ejes de simetría	¿Centro de simetría?
Triángulo equilátero	$3$	No
Triángulo isósceles	$1$	No
Triángulo escaleno	$0$	No
Cuadrado	$4$	Sí
Rectángulo (no cuadrado)	$2$	Sí
Rombo (no cuadrado)	$2$	Sí
Trapecio escaleno	$0$	No
Polígono regular de $n$ lados	$n$	Sí, si $n$ es par
Circunferencia	Infinitos	Sí (su centro)

Ejemplo resuelto: ¿cuál tiene más de dos ejes?

Entre cuadrado, rombo, rectángulo y trapecio, ¿cuál tiene más de dos ejes de simetría? Reviso uno a uno:

Cuadrado: $4$ ejes (las dos diagonales + las dos rectas que unen puntos medios de lados opuestos). → más de dos. ✓
Rombo: $2$ ejes (sus diagonales).
Rectángulo: $2$ ejes (las rectas por los puntos medios de los lados; sus diagonales no son ejes).
Trapecio escaleno: $0$ ejes.

Solo el cuadrado supera los dos ejes.

Error típico

Creer que la diagonal de un rectángulo es eje de simetría: no lo es (al doblar por la diagonal, las mitades no calzan, salvo en el cuadrado). Y confundir eje (recta) con centro (punto): un rombo tiene $2$ ejes y además centro de simetría; un triángulo equilátero tiene $3$ ejes pero no tiene centro de simetría.

Auto-chequeo ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? ¿Tiene centro de simetría?

Tiene 3 ejes (uno por cada vértice hacia el punto medio del lado opuesto). No tiene centro de simetría: al girarlo $180°$ no queda igual (solo coincide girando $120°$).

Pregunta tipo ECEP

Para una evaluación sobre simetría en 6° básico, un docente revisa las siguientes afirmaciones sobre ejes de simetría en polígonos. ¿Cuál de ellas es verdadera?

A) Los triángulos isósceles tienen $3$ ejes de simetría.
B) Los rectángulos tienen $4$ ejes de simetría.
C) Las circunferencias de radio $3$ cm tienen $2$ ejes de simetría.
D) Los rombos poseen $2$ ejes de simetría.

Correcta: D. Un rombo (no cuadrado) tiene exactamente $2$ ejes: sus dos diagonales. A es falsa: el triángulo isósceles tiene $1$ eje (el equilátero tiene $3$). B es falsa: el rectángulo tiene $2$ ejes, no $4$ (sus diagonales no son ejes). C es falsa: toda circunferencia tiene infinitos ejes (cualquier recta que pasa por su centro), no $2$; el radio no cambia eso.

3.1

Resolver problemas rutinarios con propiedades de los polígonos

Desde cero

Un problema rutinario es el que se resuelve aplicando directamente una propiedad ya conocida (la suma de ángulos, las diagonales, la relación entre lados). No exige una idea nueva: exige elegir la propiedad correcta y aplicarla bien. Las propiedades más usadas en el primer ciclo son la suma de ángulos interiores $(n-2)\cdot 180°$, los ángulos exteriores que suman $360°$, y las relaciones entre ángulos (suplementarios suman $180°$, complementarios suman $90°$, opuestos por el vértice son iguales).

Ejemplo resuelto: ángulo exterior de un triángulo

En todo triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Si los ángulos interiores no adyacentes a un exterior valen $a$ y $b$, entonces el exterior $m$ cumple $m = a + b$.

Por qué. El ángulo exterior y su interior contiguo $c$ son suplementarios: $m + c = 180°$. Y los tres interiores suman $a+b+c=180°$. Igualando, $m + c = a + b + c$, de donde $m = a+b$.

Así, si $a=34°$ y $b=73°$, el ángulo exterior mide $m = 34° + 73° = 107°$.

Ejemplo resuelto: ángulo en un pentágono regular

En un pentágono regular, cada ángulo interior mide $\frac{(5-2)\cdot 180°}{5} = \frac{540°}{5} = 108°$. Si en uno de sus vértices se traza una diagonal que forma un triángulo isósceles con dos lados del pentágono, los dos ángulos iguales de la base de ese triángulo miden $\frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$ cada uno. Reconocer qué triángulo se forma y usar que sus ángulos suman $180°$ resuelve el problema.

Auto-chequeo Dos ángulos de un triángulo miden $34°$ y $79°$. ¿Cuánto mide el ángulo exterior asociado al tercer vértice (el adyacente al tercer ángulo interior)?

El ángulo exterior de un vértice equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes. Para el tercer vértice, los no adyacentes son $34°$ y $79°$, así que el exterior mide $34° + 79° = \mathbf{113°}$. (Comprobación: el tercer interior es $180°-113°=67°$, y $34°+79°+67°=180°$. ✓)

Pregunta tipo ECEP

En una clase de 6° básico se observa un triángulo en el que se destaca un ángulo exterior $m$ en uno de sus vértices, y los ángulos interiores no adyacentes a ese vértice se rotulan $a$ y $b$ (el interior adyacente es $c$). Considerando que en todo triángulo la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes, ¿cuál opción expresa algebraicamente esa propiedad para el ángulo destacado?

A) $a + b = m$
B) $c + b = m$
C) $a + c = m$
D) $a + b = c$

Correcta: A. Los ángulos interiores no adyacentes al exterior $m$ son justamente $a$ y $b$; por la propiedad, $m = a + b$. B y C incluyen $c$, que es el interior adyacente (suplementario de $m$, no uno de los que se suman). D dice $a+b=c$, que mezcla la propiedad con el ángulo equivocado: $a+b$ da el exterior $m$, no el interior $c$.

3.1

La circunferencia: elementos y problemas rutinarios

Desde cero

La circunferencia es la línea curva cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central. El círculo es la región interior que esa línea encierra. Sus elementos clave:

Centro: el punto del que todos los puntos de la circunferencia equidistan.
Radio ($r$): el segmento del centro a cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro ($d$): el segmento que pasa por el centro y une dos puntos opuestos. Mide el doble del radio: $d = 2r$.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro (el diámetro es la cuerda más larga).
Arco: un "pedazo" de la circunferencia entre dos de sus puntos.

Figura 7. Elementos de la circunferencia: el centro $O$, el radio ($r$, del centro al borde), el diámetro (cruza por el centro, $d=2r$), una cuerda (une dos puntos sin pasar por el centro) y un arco (tramo de la curva, en verde).

Perímetro y área del círculo

El perímetro de la circunferencia (su longitud) es $P = 2\pi r = \pi d$. El área del círculo es $A = \pi r^2$. En la prueba muchas veces la respuesta se deja en función de $\pi$ (por ejemplo $25\pi\ \text{cm}^2$), sin reemplazar $\pi \approx 3{,}14$, porque no hay calculadora. Una semicircunferencia tiene la mitad del área del círculo: $\frac{\pi r^2}{2}$.

Ejemplo resuelto: área que queda dentro de un cuadrado

Un cuadrado de lado $10$ cm está dividido en cuatro cuadrados iguales de lado $5$ cm; en cada uno se inscribe una semicircunferencia de radio $\frac{5}{2}=2{,}5$ cm. ¿Cuál es el área que queda fuera de las cuatro semicircunferencias (la región blanca)?

Paso 1. Área del cuadrado grande: $10 \times 10 = 100$ cm².
Paso 2. Área de una semicircunferencia: $\frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot (2{,}5)^2}{2} = \frac{6{,}25\,\pi}{2} = 3{,}125\,\pi$ cm². Las cuatro suman $4 \times 3{,}125\,\pi = 12{,}5\,\pi$ cm².
Paso 3. Resto del cuadrado: $(100 - 12{,}5\,\pi)$ cm².

Resultado: la región fuera de las semicircunferencias mide $(100 - 12{,}5\,\pi)$ cm². Se deja con $\pi$ porque no hay calculadora.

Auto-chequeo El diámetro de una rueda mide $14$ cm. ¿Cuánto mide su radio y cuál es su perímetro (en función de $\pi$)?

Radio: $r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$ cm. Perímetro: $P = 2\pi r = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$ cm (o, equivalentemente, $\pi d = 14\pi$ cm).

Pregunta tipo ECEP

Un cuadrado $ABCD$ de lado $10$ cm está dividido en cuatro cuadrados congruentes; dentro de cada uno se inscribe una semicircunferencia (de diámetro igual al lado del cuadradito). ¿Cuál es el área de la región no cubierta por las semicircunferencias?

A) $(100 - 5\pi)\ \text{cm}^2$.
B) $(100 - 10\pi)\ \text{cm}^2$.
C) $(100 - 12{,}5\pi)\ \text{cm}^2$.
D) $(100 - 50\pi)\ \text{cm}^2$.

Correcta: C. Cada cuadradito tiene lado $5$ cm, así que cada semicircunferencia tiene radio $2{,}5$ cm y área $\frac{\pi (2{,}5)^2}{2}=3{,}125\pi$; las cuatro suman $12{,}5\pi$. Al cuadrado de $100$ cm² se le resta eso: $(100-12{,}5\pi)$. A y B resultan de usar mal el radio o de tomar áreas de medias o cuartas semicircunferencias. D ($50\pi$) sale de usar radio $5$ en vez de $2{,}5$: confunde el diámetro del cuadradito con el radio (el radio es la mitad del diámetro), inflando cada semicircunferencia.

Subdominio 3.2 · Perímetros, áreas y volúmenes

Medir el borde, la superficie y el espacio

Aquí la prueba te pone a calcular: perímetros y áreas de figuras planas, áreas y volúmenes de cuerpos, áreas de figuras compuestas y, además, a reconocer familias de figuras por sus ejes y centros de simetría. La regla de oro es no confundir las tres magnitudes —perímetro (longitud del borde, en cm), área (superficie, en cm²) y volumen (espacio, en cm³)— y fijarse siempre en las unidades, que delatan de inmediato si te equivocaste de magnitud.

3.2

Perímetros y áreas de figuras planas

Desde cero

El perímetro es lo que mide el borde de una figura (la suma de todos sus lados), en unidades de longitud (cm, m). El área es la superficie que cubre (cuántos cuadraditos caben dentro), en unidades cuadradas (cm², m²). Son magnitudes distintas: dos figuras pueden tener igual perímetro y distinta área.

Figura	Perímetro	Área
Cuadrado (lado $l$)	$4\times l$	$l \times l$
Rectángulo (base $b$, altura $h$)	$2b + 2h$	$b \times h$
Triángulo (base $b$, altura $h$)	suma de sus $3$ lados	$\dfrac{b \times h}{2}$
Paralelogramo (base $b$, altura $h$)	$2(\text{lado}_1 + \text{lado}_2)$	$b \times h$

Perímetro vs. área de un rectángulo de 6 por 4 — **Figura 8.** Perímetro (el borde, en cm) vs. área (el interior, en cm²) de un rectángulo de $6\times4$.

Ejemplo resuelto: rectángulo y triángulo

Rectángulo de base $6$ cm y altura $4$ cm:

Perímetro: $2\times 6 + 2\times 4 = 12 + 8 = 20$ cm.
Área: $A = b\times h = 6 \times 4 = 24$ cm².

Triángulo de base $8$ cm y altura $5$ cm: $A = \dfrac{b\times h}{2} = \dfrac{8\times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$ cm². (El triángulo es la mitad de un paralelogramo de igual base y altura: por eso se divide entre $2$.)

Ejemplo resuelto: ¿qué pasa si agrando todo un 10 %?

Un corral rectangular aumenta todas sus medidas en un $10\%$ (cada lado se multiplica por $1{,}1$). ¿Qué pasa con su perímetro y su área?

Perímetro: como es una suma de longitudes, al multiplicar cada lado por $1{,}1$, el perímetro también se multiplica por $1{,}1$ → aumenta un $\mathbf{10\%}$.
Área: el área es base $\times$ altura, y ambas crecen $1{,}1$ veces: $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ → el área se multiplica por $1{,}21$, es decir aumenta un $\mathbf{21\%}$.

Moraleja: al escalar una figura, el perímetro crece igual que el factor, pero el área crece con el factor al cuadrado.

Error típico: área vs. perímetro

Confundir perímetro con área (y sus unidades). Truco: perímetro = caminar por el borde (cm); área = pintar el interior (cm²). Otro error clásico es olvidar el "$\div 2$" en el triángulo, o usar un lado inclinado en vez de la altura (la altura es perpendicular a la base, no el lado).

Auto-chequeo Un cuadrado tiene lado $7$ cm. ¿Perímetro y área?

Perímetro $= 4 \times 7 = 28$ cm. Área $= 7 \times 7 = 49$ cm². (Longitud en cm; superficie en cm².)

Pregunta tipo ECEP

Un granjero tiene un corral de gallinas de forma rectangular. Para aumentar su capacidad, decide aumentar todas sus medidas en un $10\%$. ¿Qué sucede con el perímetro y el área delimitados por el corral?

A) Tanto el perímetro como el área aumentan en un $21\%$.
B) El perímetro aumenta en un $10\%$ y el área en un $21\%$.
C) Tanto el perímetro como el área aumentan en un $40\%$.
D) El perímetro aumenta en un $10\%$ y el área en un $40\%$.

Correcta: B. El perímetro es una suma de longitudes: al escalar cada lado por $1{,}1$, crece $1{,}1$ veces, es decir un $10\%$. El área es base $\times$ altura, y ambas crecen $1{,}1$: $1{,}1\times 1{,}1 = 1{,}21$, un $21\%$. A aplica el $21\%$ también al perímetro (que solo crece $10\%$). C y D usan $40\%$, que vendría de sumar $10\%+10\%+10\%+10\%$ o duplicar mal: el área crece con el factor al cuadrado, no sumando.

3.2

Áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos

Desde cero

En los cuerpos 3D distinguimos dos magnitudes que se confunden:

Área de superficie (o área total): cuánto material cubre el cuerpo "por fuera". Se calcula sumando el área de todas sus caras, y la forma más clara de verlo es desplegar el cuerpo en su red (plantilla) y sumar las áreas de las figuras planas que aparecen. Va en cm².
Volumen: cuánto espacio ocupa el cuerpo por "dentro" (cuántos cubitos de $1$ cm de arista caben). Va en cm³.

Cuerpo	Área de superficie	Volumen
Cubo (arista $a$)	$6 \times (a\times a) = 6a^2$	$a\times a\times a = a^3$
Paralelepípedo (caja $a\times b\times c$)	$2(ab+bc+ac)$	$a\times b\times c$

Ejemplo resuelto: área y volumen de una caja

Una caja (paralelepípedo) mide $a=5$ cm, $b=3$ cm y $c=2$ cm.

Volumen: $V = a\times b\times c = 5\times 3\times 2 = 30$ cm³ (caben $30$ cubitos de $1$ cm).
Área de superficie (sumando las $6$ caras, iguales de a pares): $2(ab + bc + ac) = 2(5\!\cdot\!3 + 3\!\cdot\!2 + 5\!\cdot\!2) = 2(15+6+10) = 2\times 31 = 62$ cm².

Para un cubo de arista $4$ cm: área $= 6\times(4\times 4) = 6\times 16 = 96$ cm² y volumen $= 4^3 = 64$ cm³.

Ejemplo resuelto: área desde la red

El área de superficie de un cubo se entiende mejor con su red: al desplegarlo aparecen $6$ cuadrados iguales. Si la arista es $3$ cm, cada cara mide $3\times 3 = 9$ cm², y como son $6$ caras, el área total es $6\times 9 = 54$ cm². Calcular "el área de las redes" es exactamente sumar las caras desplegadas.

Error típico: confundir área con volumen

Usar la fórmula del volumen cuando piden la superficie (o al revés). Mira las unidades que pide el problema: si es cm² → es área (caras); si es cm³ → es volumen (espacio). Y no confundir arista (un borde) con cara (una superficie) al armar la red.

Auto-chequeo Un cubo tiene arista $2$ cm. ¿Cuál es su volumen y su área de superficie?

Volumen $= 2\times 2\times 2 = 8$ cm³. Área de superficie $= 6\times(2\times 2) = 6\times 4 = 24$ cm². (Volumen en cm³; superficie en cm².)

Pregunta tipo ECEP

Un docente de 6° básico aborda el OA "demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos, calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas". Quiere una secuencia de actividades coherente con ese objetivo. ¿Cuál de las siguientes secuencias es la más adecuada?

A) Calcular el área de figuras planas → construir redes de cubos y paralelepípedos → calcular superficies usando las redes.
B) Construir redes de cubos y paralelepípedos → calcular superficies usando las redes → resolver problemas sobre cuánto material se necesita para envolver cubos y paralelepípedos.
C) Identificar caras, aristas y vértices → calcular el área de figuras planas → construir redes.
D) Construir redes → deducir cómo calcular superficies de otros prismas rectos → calcular el área de figuras planas.

Correcta: B. La secuencia avanza con sentido hacia el objetivo y lo aplica: construir la red, calcular su área (que es el área de superficie del cuerpo) y luego usarlo en un problema real de envolver. A y C ordenan mal o terminan antes de calcular la superficie pedida (se quedan en pasos previos). D "deduce otros prismas" antes de consolidar cubo y paralelepípedo y deja el área de figuras planas al final, cuando es prerrequisito que debería ir antes.

3.2

Reconocer familias de figuras por sus ejes y centros de simetría

Desde cero

La simetría sirve también para agrupar figuras en familias: figuras con el mismo tipo de simetría comparten propiedades. Por ejemplo, todos los polígonos regulares forman una familia: el de $n$ lados tiene $n$ ejes de simetría y, si $n$ es par, además centro de simetría. Clasificar por simetría ayuda a predecir cuántos ejes tendrá una figura sin probar a doblarla.

Familia	Ejes de simetría	Centro de simetría
Triángulo equilátero (regular, $n=3$)	$3$	No ($n$ impar)
Cuadrado (regular, $n=4$)	$4$	Sí ($n$ par)
Pentágono regular ($n=5$)	$5$	No ($n$ impar)
Hexágono regular ($n=6$)	$6$	Sí ($n$ par)
Circunferencia	Infinitos	Sí

Ejemplo resuelto: predecir por la familia

¿Cuántos ejes tiene un octágono regular ($n=8$)? Por pertenecer a la familia de los polígonos regulares, tiene $n=8$ ejes de simetría. Y como $8$ es par, además tiene centro de simetría. No hace falta dibujarlo y doblarlo: la familia ya lo dice.

Por qué importa en la enseñanza

Reconocer familias por su simetría es una forma de clasificar con sentido: en vez de memorizar caso por caso, el estudiante descubre una regla ("$n$ lados → $n$ ejes") que se transfiere a figuras nuevas. La prueba puede pedir agrupar figuras que comparten la misma cantidad de ejes o la presencia de centro de simetría.

Auto-chequeo ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular? ¿Tiene centro de simetría?

Tiene 6 ejes (es regular con $n=6$ lados). Como $6$ es par, además tiene centro de simetría (al girarlo $180°$ alrededor de su centro queda igual).

Pregunta tipo ECEP

Una docente pide a su 6° básico agrupar figuras en una "familia" cuyo criterio sea tener el mismo número de ejes de simetría que lados. ¿Cuál de los siguientes conjuntos cumple ese criterio para todos sus integrantes?

A) Triángulo escaleno, rectángulo y rombo.
B) Triángulo isósceles, trapecio escaleno y paralelogramo.
C) Triángulo equilátero, cuadrado y pentágono regular.
D) Rectángulo, rombo y hexágono irregular.

Correcta: C. Son polígonos regulares: el triángulo equilátero tiene $3$ ejes y $3$ lados, el cuadrado $4$ y $4$, el pentágono regular $5$ y $5$. En todos, número de ejes $=$ número de lados. A falla (el escaleno tiene $0$ ejes; el rectángulo $2$ ejes con $4$ lados). B falla (el isósceles tiene $1$ eje con $3$ lados; el paralelogramo $0$). D falla (rectángulo y rombo tienen $2$ ejes con $4$ lados; un hexágono irregular no tiene $6$ ejes).

3.2

Problemas NO rutinarios: áreas por figuras compuestas

Desde cero

Un problema no rutinario no se resuelve con una sola fórmula directa: hay que idear una estrategia. La más potente para áreas es descomponer la figura en partes conocidas (rectángulos, triángulos) y sumar sus áreas; o bien encerrar la figura en una más grande y restar lo que sobra. Es el método de las figuras compuestas: convertir una figura "rara" en suma o resta de figuras simples.

Figura 9. Dos estrategias para el área de una figura en "L": descomponer y sumar ($32+10=42$) o completar y restar ($48-6=42$). El resultado coincide: $42$ unidades cuadradas.

Ejemplo resuelto: área de una figura en "L"

Una sala en forma de "L" se obtiene de un rectángulo grande de $8\times 6$ al que se le quitó un rectángulo de $3\times 2$ en una esquina. Calculemos su área por los dos caminos:

Completar y restar. Área del rectángulo grande $= 8\times 6 = 48$. Le resto la esquina faltante $= 3\times 2 = 6$. Total: $48 - 6 = 42$.
Descomponer y sumar. Parto la "L" en dos rectángulos, por ejemplo uno de $8\times 4 = 32$ y otro de $5\times 2 = 10$. Total: $32 + 10 = 42$.

Ambos caminos dan $42$ unidades cuadradas: la estrategia se elige, pero el resultado debe coincidir. Comprobar por dos vías es una buena verificación.

En la ECEP

Te muestran una figura irregular (sobre una cuadrícula o con medidas) y piden su área. Pregúntate: ¿la divido en partes conocidas y sumo, o la encierro en una mayor y resto? Elige la vía más simple según los datos que te dan. Si la figura está sombreada dentro de otra, casi siempre conviene restar (figura grande menos hueco).

Auto-chequeo Una figura es un cuadrado de lado $10$ al que se le recortó, en una esquina, un cuadradito de lado $4$. ¿Cuál es su área?

Completo y resto: área del cuadrado grande $= 10\times 10 = 100$; recorte $= 4\times 4 = 16$. Área de la figura $= 100 - 16 = \mathbf{84}$ unidades cuadradas.

Pregunta tipo ECEP

Un terreno tiene forma de "L": es un rectángulo de $12$ m $\times$ $9$ m al que se le quitó un rectángulo de $5$ m $\times$ $4$ m en una esquina. Un docente plantea calcular su área. ¿Cuál es el área del terreno?

A) $88\ \text{m}^2$.
B) $128\ \text{m}^2$.
C) $108\ \text{m}^2$.
D) $20\ \text{m}^2$.

Correcta: A. Estrategia "completar y restar": el rectángulo grande mide $12\times 9 = 108$ m²; el trozo quitado mide $5\times 4 = 20$ m². Área de la "L": $108 - 20 = 88$ m². C ($108$) es el rectángulo sin restar el hueco (olvidó la resta). D ($20$) es solo el trozo recortado, no el terreno. B ($128$) suma el hueco en vez de restarlo. La clave es restar la parte faltante.

Subdominio 3.3 · Transformaciones isométricas

Mover la figura sin deformarla

Una transformación isométrica mueve una figura sin cambiar su forma ni su tamaño: la figura original y su imagen son congruentes. Hay tres movimientos básicos —traslación, reflexión (simetría axial) y rotación— más la simetría central. Aquí la prueba pide identificar el concepto de congruencia, aplicar estos movimientos en el plano cartesiano y reconocerlos en la naturaleza y el arte. La palabra isométrica lo dice todo: iso (igual) $+$ métrica (medida).

3.3

Congruencia y sus propiedades en las transformaciones isométricas

Desde cero

Dos figuras son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño: si pudieras recortar una y ponerla sobre la otra, calzarían perfectamente. La congruencia es justo lo que conserva toda transformación isométrica. Sus propiedades:

Se conservan las longitudes de los lados (la figura no se estira ni encoge).
Se conservan las medidas de los ángulos.
Se conserva el área y la forma general.
Lo único que cambia es la posición (y, en la reflexión, la orientación: queda "como en un espejo").

Cuidado: congruente ($=$ igual forma y tamaño) no es lo mismo que semejante ($=$ misma forma pero distinto tamaño, una es una ampliación de la otra). Las isometrías dan figuras congruentes, no solo semejantes.

Ejemplo: qué se conserva y qué no

Si traslado un triángulo de lados $3$, $4$ y $5$ cm tres unidades hacia la derecha, la imagen sigue teniendo lados $3$, $4$ y $5$ cm y los mismos ángulos: es congruente con el original. Solo cambió su ubicación. Si además lo reflejo, los lados y ángulos siguen iguales, pero su orientación se invierte (como la mano izquierda respecto de la derecha).

Error típico

Pensar que una isometría puede agrandar o achicar la figura: no. Si el tamaño cambia, ya no es una transformación isométrica (sería una homotecia/semejanza). Toda traslación, rotación o reflexión deja la figura del mismo tamaño: la imagen y el original son congruentes.

Auto-chequeo Al aplicar una rotación a una figura, ¿cambian las medidas de sus lados y ángulos?

No. La rotación es isométrica: conserva longitudes, ángulos y área. La figura rotada es congruente con la original; lo único que cambia es su orientación/posición, no su tamaño ni su forma.

Pregunta tipo ECEP

En una figura, un triángulo $FDE$ se transforma en otro triángulo $GLH$ mediante una rotación de $180°$ alrededor de un punto $O$. Un docente pregunta a su curso qué se puede afirmar con certeza. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) El área de $GLH$ es mayor que la de $FDE$, porque la rotación lo desplaza.
B) El triángulo $FDE$ es congruente con el triángulo $GLH$.
C) Los ángulos de $GLH$ son distintos a los de $FDE$.
D) Los lados de $GLH$ son la mitad de los de $FDE$.

Correcta: B. La rotación es una transformación isométrica: conserva longitudes, ángulos y área, de modo que la figura original y su imagen son congruentes. A es falsa: el área no cambia (rotar no agranda). C es falsa: los ángulos se conservan idénticos. D es falsa: los lados conservan su medida, no se reducen a la mitad (eso sería una semejanza, no una isometría).

3.3

Traslación, reflexión, simetría central y rotación en el plano cartesiano

Desde cero

Las cuatro transformaciones que el temario pide aplicar a figuras en el plano cartesiano (donde cada punto es un par ordenado $(x, y)$):

Traslación: deslizar la figura según un vector (tantas unidades a la derecha/izquierda y arriba/abajo). Cada punto se mueve igual; la orientación no cambia.
Reflexión (simetría axial): "voltear" la figura respecto de una recta (el eje), como un espejo. La imagen queda invertida.
Simetría central: reflejar respecto de un punto $O$. Equivale a una rotación de $180°$ alrededor de ese punto.
Rotación: girar la figura un cierto ángulo alrededor de un punto (centro de rotación), en sentido horario o antihorario.

Las tres transformaciones isométricas: traslación, reflexión y rotación — **Figura 10.** Las transformaciones isométricas: traslación (deslizar), reflexión (espejo) y rotación (giro). La figura no cambia de forma ni tamaño.

Cómo se ve en las coordenadas

Trabajar en el plano cartesiano permite describir el movimiento con números:

Transformación	Qué le pasa al punto $(x,y)$
Traslación según vector $(a,b)$	$(x+a,\; y+b)$
Reflexión respecto del eje $x$ (horizontal)	$(x,\; -y)$
Reflexión respecto del eje $y$ (vertical)	$(-x,\; y)$
Simetría central respecto del origen ($=$ rotación $180°$)	$(-x,\; -y)$

Ejemplo resuelto: trasladar un punto

El punto $A=(2, 3)$ se traslada según el vector $(4, -1)$ (cuatro a la derecha, uno abajo). Su imagen es $A' = (2+4,\; 3+(-1)) = (6, 2)$. Si luego reflejamos $A'=(6,2)$ respecto del eje $x$, obtenemos $(6, -2)$ (la $x$ se mantiene, la $y$ cambia de signo).

Simetría central = rotación de 180°

Un punto clave que la prueba aprovecha: una simetría central respecto de $O$ y una rotación de $180°$ alrededor de $O$ producen exactamente el mismo resultado. Por eso, ante una figura "dada vuelta" respecto de un punto, ambas descripciones son válidas. Distinto es una reflexión (respecto de una recta), que invierte la orientación de otra manera.

Auto-chequeo El punto $(5, 2)$ se refleja respecto del eje $y$. ¿Cuál es su imagen?

Al reflejar respecto del eje $y$ (vertical), la $x$ cambia de signo y la $y$ se mantiene: $(5, 2) \to (-5, 2)$.

Pregunta tipo ECEP

La figura $B$ se obtiene al aplicar una transformación isométrica a la figura $A$: $B$ está "dada vuelta" respecto de un punto $O$ (cada punto de $A$ tiene su correspondiente al otro lado de $O$, a igual distancia). ¿Cuál de las siguientes opciones describe la transformación aplicada?

A) Una traslación según un vector horizontal.
B) Una simetría axial respecto de una recta que pasa por $O$.
C) Una reflexión respecto del eje $x$.
D) Una simetría central con respecto al punto $O$ (equivalente a una rotación de $180°$ en torno a $O$).

Correcta: D. Que cada punto tenga su correspondiente al otro lado de $O$ y a igual distancia es la definición de simetría central respecto de $O$, que equivale a una rotación de $180°$ en torno a $O$. A (traslación) solo desliza, no "da vuelta" la figura. B (simetría axial) y C (reflexión en un eje) usan una recta, no un punto, e invierten la figura como un espejo, no la rotan en torno a $O$.

3.3

Identificar traslaciones, rotaciones y reflexiones en la naturaleza y el arte

Desde cero

Las transformaciones isométricas no viven solo en el cuaderno: están por todas partes. El temario pide reconocerlas en imágenes del mundo real. Para distinguirlas, mira qué movimiento lleva una parte del patrón a la siguiente:

Traslación: el motivo se repite deslizándose, idéntico, sin girar ni voltearse. Ejemplos: las baldosas o ladrillos de un muro, una greca o cenefa, las celdas de un panal, una fila de huellas que avanzan.
Reflexión (simetría axial): hay un eje y los dos lados son imagen de espejo. Ejemplos: las alas de una mariposa, el reflejo de un cerro en un lago, muchas hojas y rostros.
Rotación: el motivo se repite girando alrededor de un centro. Ejemplos: los pétalos de una flor, una estrella de mar, un copo de nieve, un rehilete o una rueda.

Figura 11. Las isometrías en la naturaleza y el arte: la greca repite el motivo deslizándolo (traslación), las alas de la mariposa son imagen de espejo respecto de un eje (reflexión) y los pétalos de la flor giran en torno al centro (rotación).

Ejemplo: leer un mosaico

En un mosaico tipo teselado (figuras que cubren el plano sin huecos), una misma pieza puede aparecer trasladada (deslizada a la celda de al lado), reflejada (volteada como en un espejo) y rotada (girada). Artistas como M. C. Escher construyeron obras enteras combinando estas tres isometrías: identificar cuál se usó entre dos piezas vecinas es exactamente lo que pide la prueba.

En la ECEP

Te muestran cuatro imágenes (de la naturaleza, de obras de arte o de patrones) y preguntan en cuál hay una traslación (o una reflexión, o una rotación). Pregúntate: para pasar de un motivo al siguiente, ¿lo deslicé (traslación), lo volteé como espejo (reflexión) o lo giré (rotación)? Esa pregunta basta para clasificar.

Auto-chequeo Las dos alas de una mariposa son imagen de espejo respecto de su cuerpo. ¿Qué transformación isométrica representan?

Una reflexión (simetría axial): el cuerpo de la mariposa es el eje y un ala es la imagen especular de la otra. Si fuera traslación, un ala estaría deslizada (no volteada); si fuera rotación, estaría girada en torno a un punto.

Pregunta tipo ECEP

Una docente muestra cuatro imágenes a su curso y pregunta en cuál se presenta una traslación. ¿Cuál de las siguientes situaciones corresponde a una traslación?

A) Una mariposa cuyas alas son imagen de espejo a ambos lados de su cuerpo.
B) Una flor cuyos pétalos iguales están dispuestos girando alrededor del centro.
C) El reflejo de una montaña sobre la superficie quieta de un lago.
D) Una greca decorativa en la que un mismo motivo se repite deslizándose a lo largo de una franja.

Correcta: D. En la greca, el motivo se repite deslizándose (mismo tamaño, misma orientación, solo cambia de lugar): eso es una traslación. A (alas de mariposa) y C (reflejo en el lago) son reflexiones: hay un eje y una imagen de espejo. B (pétalos en torno al centro) es una rotación: el motivo gira alrededor de un punto. Solo D desliza el motivo sin voltearlo ni girarlo.