Álgebra · Dossier ECEP Básica Matemática - Francisco Javier Núñez Valenzuela

Subdominio 2.1 · Lenguaje algebraico

De los números a las letras

El álgebra empieza cuando una letra ocupa el lugar de un número que no conocemos o que puede cambiar. Con eso se logran tres cosas que la prueba pregunta una y otra vez: descubrir la regla que genera una secuencia (y con ella, cualquier término), traducir un enunciado en palabras a una expresión matemática (y al revés), y modelar situaciones de proporciones, porcentajes o potencias con una expresión general. No memorizamos definiciones: en cada tarjeta hay un ejemplo resuelto paso a paso para ver cómo se llega a la expresión, no solo cuál es.

2.1

Secuencias numéricas: regla de formación, término general y términos faltantes

Desde cero

Una secuencia es una lista ordenada de números: $4, 11, 18, 25, \ldots$ Cada número es un término, y su lugar en la lista es su posición ($n$): el primero es $n=1$, el segundo $n=2$, y así. La regla de formación (o patrón) es la instrucción que permite pasar de un término al siguiente o, mejor aún, calcular cualquier término sin recorrer toda la lista. Hay dos formas de describirla:

Recursiva: dice cómo obtener un término a partir del anterior ("sumar $7$ al término anterior"). Sirve para continuar la secuencia, pero obliga a calcular uno por uno.
Término general: una expresión en $n$ que da el término de la posición $n$ directamente. Para $4, 11, 18, 25, \ldots$ el término general es $7n-3$: con $n=1$ da $4$, con $n=2$ da $11$, con $n=10$ da $67$ sin contar.

Patrón visual creciente 1, 3, 5, 7 llevado a tabla y regla — **Figura 1.** Un patrón visual creciente llevado a tabla y a su regla: el camino de la secuencia al término general.

Cómo encontrar el término general (prueba y error guiado)

Cuando una secuencia crece de a una cantidad constante (sumando siempre lo mismo), el término general tiene la forma $a\cdot n + b$. El número que se suma cada vez es el coeficiente $a$; el $b$ ajusta para que calce el primer término.

Ejemplo resuelto: término general de $4, 11, 18, 25, 32$

Paso 1. Veo cuánto sube de un término al siguiente: $11-4=7$, $18-11=7$, $25-18=7$. Sube de a $7$, siempre lo mismo. Entonces el coeficiente es $a=7$: el general empieza como $7n+b$.
Paso 2. Ajusto $b$ con el primer término ($n=1$, valor $4$): $7\times 1 + b = 4$, así que $b=4-7=-3$.
Paso 3. El término general es $7n-3$. Compruebo con otro: $n=4 \Rightarrow 7\times 4 - 3 = 25$. ✓

Con la fórmula, el término número $100$ sale al instante: $7\times 100 - 3 = 697$, sin escribir los $99$ anteriores.

El error típico: confundir "lo que sube" con el término general

Si la secuencia sube de a $7$, es tentador decir que el patrón es "$n+7$". Pero $n+7$ con $n=1$ da $8$, no $4$: está mal. "Sube de a $7$" indica solo el coeficiente; el término general es $7n$ más un ajuste ($-3$). Comprueba siempre reemplazando $n=1$ y $n=2$ antes de elegir.

En la ECEP

Una pregunta real entregaba la secuencia $4, 11, 18, 25, 32$ y pedía el patrón que permite encontrar el enésimo término, con alternativas como $n+7$, $5n-7$, $7n+4$ y $7n-3$. La estrategia ganadora es descartar reemplazando: la correcta debe dar $4$ en $n=1$ y $11$ en $n=2$. Solo $7n-3$ lo cumple. No te quedes con "sube de a $7$".

Auto-chequeo Encuentra el término faltante y el término general de $\;5, 8, 11, \underline{\ \ }, 17$.

Sube de a $3$ ($8-5=3$), así que el faltante es $11+3=\mathbf{14}$. Término general: empieza como $3n+b$; con $n=1$, $3+b=5 \Rightarrow b=2$. Es $\mathbf{3n+2}$. Comprobación: $n=5 \Rightarrow 3\times 5 + 2 = 17$. ✓

Auto-chequeo En la secuencia $3, 6, 12, 24, \ldots$ ¿la regla es "sumar 3" o "multiplicar por 2"? Da el término que sigue.

Multiplicar por 2: cada término es el doble del anterior. "Sumar 3" funciona para $3\to6$ pero falla en $6\to12$. Sigue $24\times 2 = \mathbf{48}$. (Aquí el crecimiento no es constante, sino que se duplica: no es del tipo $a\cdot n+b$.)

Pregunta tipo ECEP

En la secuencia numérica $\;4,\ 11,\ 18,\ 25,\ 32,\ \ldots$ ¿cuál es el patrón de formación que permite encontrar el enésimo término?

A) $n + 7$
B) $7n + 4$
C) $7n - 3$
D) $5n - 7$

Correcta: C. La secuencia sube de a $7$, así que el general es $7n+b$; ajustando con $n=1$ (valor $4$) sale $b=-3$, es decir $7n-3$ (comprobación: $n=2 \Rightarrow 11$ ✓). A ($n+7$) toma "lo que sube" como si fuera el patrón completo: da $8$ en $n=1$, no $4$. B ($7n+4$) usa el coeficiente correcto pero el ajuste equivocado: da $11$ en $n=1$. D ($5n-7$) usa un coeficiente que no corresponde al alza de $7$: da $-2$ en $n=1$.

Pregunta tipo ECEP

Una secuencia de figuras hechas con palitos crece así: la figura $1$ usa $4$ palitos, la $2$ usa $7$, la $3$ usa $10$ y la $4$ usa $13$. ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de palitos de la figura de la posición $n$?

A) $4n$
B) $3n + 1$
C) $n + 3$
D) $4n - 1$

Correcta: B. Sube de a $3$ ($7-4=3$, $10-7=3$), así que el general es $3n+b$; con $n=1$ (valor $4$): $3+b=4 \Rightarrow b=1$. Es $3n+1$ (comprobación: $n=4 \Rightarrow 13$ ✓). A ($4n$) usa el primer valor como coeficiente: da $4$ en $n=1$ pero $8$ en $n=2$, no $7$. C ($n+3$) toma "lo que sube" mal: da $4$ en $n=1$ pero $5$ en $n=2$. D ($4n-1$) calza en $n=2$ ($7$) pero falla en $n=1$: da $3$, no $4$. Por eso hay que comprobar con dos posiciones, no una.

2.1

Traducir entre el lenguaje natural y el algebraico (y la operatoria con paréntesis, potencias y raíces)

Desde cero

Traducir al lenguaje algebraico es convertir un enunciado en palabras en una expresión con letras y signos, y también leer una expresión y decir qué significa. La clave es asignar una letra al número desconocido y reemplazar cada palabra por su operación. Algunas equivalencias frecuentes:

En palabras	En lenguaje algebraico
El doble de un número / un número aumentado en…	$2x$ / $x + \ldots$
La mitad / la tercera parte de un número	$\dfrac{x}{2}$ / $\dfrac{x}{3}$
El triple, el cuádruplo…	$3x$, $4x$
Disminuir / la diferencia entre $a$ y $b$	resta / $a - b$
El cuadrado de un número / su raíz cuadrada	$x^2$ / $\sqrt{x}$

Tabla: del lenguaje natural al álgebra. El doble de un número → 2n; un número aumentado en 5 → n + 5; la mitad de un número → n/2 — **Figura 2.** Traducir del lenguaje natural al algebraico: cada expresión en palabras tiene su versión en símbolos (*el doble* → $2n$; *aumentado en 5* → $n+5$; *la mitad* → $\tfrac{n}{2}$).

Ejemplo resuelto: "el doble de un número, disminuido en 5"

Paso 1. Llamo $x$ al número desconocido.
Paso 2. "El doble de un número" es $2x$.
Paso 3. "Disminuido en 5" significa restar $5$: $2x - 5$.

La expresión es $\;2x - 5$. Al revés también: la expresión $3x+2$ se lee "el triple de un número, aumentado en dos".

Ejemplo: por qué el paréntesis cambia todo

Compara dos traducciones que parecen iguales pero no lo son:

"El doble de un número, aumentado en tres" $\rightarrow 2x + 3$ (primero el doble, luego sumo $3$).
"El doble de (un número aumentado en tres)" $\rightarrow 2(x + 3)$ (primero sumo $3$, luego duplico todo).

Con $x=5$: el primero da $2\times5+3=13$; el segundo, $2\times(5+3)=16$. El paréntesis obliga a resolver primero su interior y, por la propiedad distributiva, $2(x+3)=2x+6$. Leer con cuidado dónde va el paréntesis evita el error más común al modelar.

La regla de prioridad, en una expresión con letras

Para evaluar una expresión (reemplazar la letra por un número y calcular) se respeta el mismo orden de siempre: primero paréntesis, luego potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y al final sumas y restas.

Ejemplo: evaluar $\;3x^2 - 4\;$ en $x=2$

Paso 1. Reemplazo: $3\times 2^2 - 4$.
Paso 2. Potencia primero: $2^2 = 4$. Queda $3\times 4 - 4$.
Paso 3. Multiplicación antes que la resta: $12 - 4 = 8$.

Resultado: $8$. El error sería hacer $3\times 2 = 6$ y luego elevar al cuadrado: la potencia afecta solo a la $x$, no al $3$.

Auto-chequeo Traduce: "la suma de un número y su cuadrado".

Llamo $x$ al número. "Su cuadrado" es $x^2$. La suma es $\;x + x^2$. (No confundir con $(x+x)^2$, que sería "el cuadrado del doble del número".)

Auto-chequeo Evalúa $\;2(x+1)\;$ en $x=4$ y compáralo con $\;2x+1$.

$2(x+1)$ con $x=4$: primero el paréntesis $4+1=5$, luego $2\times 5 = \mathbf{10}$. En cambio $2x+1 = 2\times4+1 = \mathbf{9}$. No son lo mismo: el paréntesis hace que el $2$ multiplique también al $1$ ($2x+2$).

Pregunta tipo ECEP

Una docente de 6° básico quiere que sus estudiantes traduzcan enunciados al lenguaje algebraico. Escribe en la pizarra: "Un número aumentado en su 30% da como resultado 169". ¿Cuál es la ecuación que representa correctamente esta afirmación?

A) $x + 0{,}3 = 169$
B) $x \cdot 0{,}3 = 169$
C) $x - 0{,}3x = 169$
D) $x + 0{,}3x = 169$

Correcta: D. El número es $x$; "su $30\%$" es $0{,}3\,x$ (el $30\%$ del número, no $0{,}3$ a secas); "aumentado en" es sumar, y "da como resultado" es $=$. Queda $x + 0{,}3x = 169$. A suma $0{,}3$ en vez del $30\%$ del número (olvida la $x$). B multiplica por $0{,}3$ ("el $30\%$ de", no "aumentado en"). C traduce "disminuido", no "aumentado": cambia el signo.

2.1

Modelar proporciones, porcentajes y potencias con lenguaje algebraico

Desde cero

Modelar es escribir una expresión general (con letras) que sirva para cualquier caso, no solo para un número fijo. La ventaja: con la misma fórmula respondo muchas preguntas cambiando el valor de la letra. El temario pide modelar tres tipos de relación:

Proporcionalidad directa: cuando una cantidad crece, la otra crece en la misma razón. Se modela $y = k\,x$, donde $k$ es la constante (lo que vale "una unidad"). Ej.: $1$ cuaderno cuesta $\$500$, entonces $n$ cuadernos cuestan $500\,n$.
Proporcionalidad inversa: cuando una crece, la otra decrece de modo que el producto se mantiene. Se modela $x\cdot y = k$. Ej.: más máquinas iguales en una fábrica $\Rightarrow$ menos tiempo de producción (el trabajo total es constante).
Porcentaje: el $p\%$ de una cantidad $x$ es $\dfrac{p}{100}\cdot x$. El $30\%$ de $x$ es $0{,}3x$; "aumentar un $19\%$" es $x + 0{,}19x = 1{,}19x$.

Ejemplo resuelto: modelar un precio con IVA

Un libro vale $x$ pesos sin IVA. El IVA es el $19\%$. ¿Cuánto cuesta con IVA?

Paso 1. El IVA en pesos es el $19\%$ de $x$: $0{,}19\,x$.
Paso 2. El precio final es el valor más el IVA: $x + 0{,}19x$.
Paso 3. Sumo términos semejantes (factor común $x$): $x + 0{,}19x = 1{,}19\,x$.

El modelo es $1{,}19\,x$. Si el libro vale $\$10\,000$ sin IVA, con IVA cuesta $1{,}19\times 10\,000 = \$11\,900$. La misma fórmula responde para cualquier precio.

El error típico: confundir directa con inversa

Más kilos de pan $\Rightarrow$ más dinero a pagar: eso es directa ($y=kx$). Pero "más máquinas iguales $\Rightarrow$ menos tiempo para terminar la misma producción" es inversa ($x\cdot y=k$): cuando una sube, la otra baja. Pregúntate: al duplicar una cantidad, ¿la otra se duplica (directa) o se reduce a la mitad (inversa)?

Potencias: modelar lo que se repite multiplicando

Una potencia $a^n$ resume una multiplicación del mismo factor $n$ veces: $2^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2$. Sirve para modelar lo que crece multiplicándose: si una población se duplica cada año y parte en $P$, tras $n$ años es $P\cdot 2^n$. Para multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes ($a^m\cdot a^n = a^{m+n}$); para dividirlas, se restan ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Auto-chequeo Un producto cuesta $x$ pesos y sube un $20\%$. Escribe el modelo del nuevo precio y calcúlalo si $x=\$8\,000$.

El $20\%$ de $x$ es $0{,}2x$; el nuevo precio es $x + 0{,}2x = 1{,}2x$. Con $x=8\,000$: $1{,}2\times 8\,000 = \mathbf{\$9\,600}$.

Auto-chequeo ¿Directa o inversa? "La cantidad de máquinas iguales de una fábrica y el tiempo que demoran en elaborar la misma producción".

Inversa. Más máquinas $\Rightarrow$ menos tiempo: al aumentar una, la otra disminuye, y el producto (el trabajo total) se mantiene constante: $\text{máquinas}\times\text{tiempo}=k$.

Pregunta tipo ECEP

Para introducir la proporcionalidad, una docente pide a sus estudiantes identificar, entre varias situaciones, en cuál las variables son inversamente proporcionales. ¿Cuál de las siguientes corresponde a ese tipo de relación?

A) La cantidad de kilogramos de pan y el valor que se cancela al comprarlos en la panadería.
B) La remuneración mensual de un trabajador en función de la cantidad de días trabajados.
C) La cantidad de máquinas iguales de una fábrica y el tiempo que demoran en elaborar una producción fija.
D) La cantidad de cuadernos comprados y el precio total que se paga por ellos.

Correcta: C. Con más máquinas, la producción fija se termina en menos tiempo: una sube y la otra baja, con producto constante ($\text{máquinas}\times\text{tiempo}=k$): es inversa. A, B y D son directas: más kilos $\Rightarrow$ más pago, más días $\Rightarrow$ más sueldo, más cuadernos $\Rightarrow$ más precio (al duplicar una, la otra se duplica, $y=kx$).

Subdominio 2.2 · Ecuaciones e inecuaciones lineales

Plantear y resolver manteniendo el equilibrio

Una ecuación lineal es una igualdad con una incógnita elevada solo a la potencia $1$ (sin $x^2$): $2x+3=11$. Tiene una única solución. Una inecuación lineal cambia el $=$ por $<$, $>$, $\le$ o $\ge$: en lugar de un valor, admite un rango de soluciones. Aquí la prueba hace dos cosas: te da un problema y pide la ecuación o inecuación que lo modela (o al revés), y te pide resolverla con coeficientes enteros o fraccionarios. El principio que ordena todo es el equilibrio: lo que haces a un lado de la igualdad, lo haces igual al otro.

2.2

Identificar la ecuación o inecuación que modela un problema (y viceversa)

Desde cero

Modelar un problema es escribir la igualdad o desigualdad que captura sus datos. La receta es siempre la misma: (1) decide qué es la incógnita y nómbrala con una letra; (2) escribe las demás cantidades en función de esa letra; (3) une todo con $=$ (si dos cosas son iguales) o con $<$, $>$, $\le$, $\ge$ (si una es mayor o menor que otra). Las palabras delatan el signo: "es", "da como resultado" $\rightarrow =$; "menor que", "no supera" $\rightarrow <$ o $\le$; "al menos", "mayor que" $\rightarrow \ge$ o $>$.

Figura 3. La ecuación es una balanza en equilibrio: lo que está a un lado pesa lo mismo que el otro, y no se debe desnivelar.

Ejemplo resuelto: del problema a la inecuación

"En una granja, la cantidad de animales entre patos y cerdos es menor a $56$. Hay $30$ cerdos menos que patos. ¿Qué inecuación permite hallar el máximo de cerdos?"

Paso 1. Incógnita: la cantidad de cerdos, $c$.
Paso 2. Hay $30$ cerdos menos que patos $\Rightarrow$ los patos son $c+30$ (los patos son más).
Paso 3. "El total es menor a $56$": patos $+$ cerdos $<56$, es decir $(c+30) + c < 56$.

La inecuación es $\;c + c + 30 < 56$. El error frecuente es escribir $c+30$ para los cerdos: como hay $30$ cerdos menos, son los patos los que llevan el $+30$.

Ejemplo: del problema a la ecuación (con balanza)

"Tengo $\$20\,000$ y mi amiga $\$25\,000$; juntos completamos el precio $x$ de un sillón." La igualdad modela que un lado (lo que tenemos) es igual al otro (lo que falta más lo aportado). Pensar la ecuación como una balanza equilibrada ayuda: a la izquierda $x$ (lo que cuesta), a la derecha $20\,000 + 25\,000$ (lo reunido). Queda $x = 20\,000 + 25\,000$, de donde $x = \$45\,000$.

En la ECEP

Las preguntas de modelar suelen ser "¿cuál de las siguientes ecuaciones/inecuaciones representa…?". No las resuelvas: traduce el enunciado con cuidado y descarta. Vigila quién lleva el "+" o el "−" (el que es mayor) y el signo de la desigualdad ("menor a" es $<$, no $>$; "a lo más" es $\le$). Un cambio de signo o de variable basta para que la alternativa sea incorrecta.

Auto-chequeo "El triple de un número, disminuido en $2$, es igual a $13$." Escribe la ecuación.

El número es $x$; "el triple" es $3x$; "disminuido en $2$" es $3x-2$; "es igual a $13$" cierra con $=13$. La ecuación es $\;3x - 2 = 13$.

Auto-chequeo "Un número, aumentado en $5$, no supera los $12$." ¿Ecuación o inecuación? Escríbela.

Inecuación: "no supera" es "menor o igual", $\le$. Queda $\;x + 5 \le 12$. (Si dijera "es igual a $12$", sería ecuación con $=$.)

Pregunta tipo ECEP

En una granja, la cantidad de animales entre patos ($p$) y cerdos ($c$) es menor a $56$ animales. Se sabe que en la granja hay $30$ cerdos menos que patos. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones permite encontrar el número máximo de cerdos posible?

A) $c + c + 30 > 56$
B) $c + c + 30 < 56$
C) $c - 30 + c < 56$
D) $c - 30 + c \ge 56$

Correcta: B. Si los cerdos son $c$ y hay $30$ cerdos menos que patos, los patos son $c+30$. El total patos $+$ cerdos es $(c+30)+c$, y "es menor a $56$" da $c+c+30 < 56$. A usa $>$ ("mayor"), pero el enunciado dice "menor a". C resta $30$ a los cerdos ($c-30$), como si los cerdos fueran menos que ellos mismos: invierte quién lleva el $+30$. D equivoca el signo ($\ge$) y además resta el $30$ del lado errado.

2.2

Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales (coeficientes enteros y fraccionarios)

Desde cero

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. La herramienta es la operación inversa aplicada a ambos lados (para no romper el equilibrio): si algo suma, lo resto; si multiplica, divido. El objetivo es dejar la $x$ sola. Y siempre se comprueba reemplazando el valor en la ecuación original.

Ejemplo resuelto: $\;2x + 3 = 11$ (coeficientes enteros)

Paso 1. El $+3$ estorba: resto $3$ a ambos lados. $2x + 3 - 3 = 11 - 3 \Rightarrow 2x = 8$.
Paso 2. La $x$ está multiplicada por $2$: divido por $2$ a ambos lados. $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{8}{2} \Rightarrow x = 4$.
Paso 3 (comprobación). Reemplazo: $2\times 4 + 3 = 11$. ✓

Resumido: $2x+3=11 \Rightarrow x=4$. Primero deshago la suma, después la multiplicación (el orden inverso al de prioridad).

El error típico: el cambio de signo al despejar

Al "pasar" un término al otro lado, cambia su signo: en $2x+3=11$, el $+3$ pasa como $-3$ ($2x=11-3$). El error clásico es no cambiarlo y escribir $2x = 11+3$. Si dudas, no "pases" nada: resta $3$ a los dos lados y verás aparecer el $-3$ solo. Lo mismo con el signo de la inecuación: se conserva al sumar o restar.

Ejemplo resuelto: $\;\dfrac{x}{3} + 2 = 5$ (coeficiente fraccionario)

Paso 1. Resto $2$ a ambos lados: $\dfrac{x}{3} = 3$.
Paso 2. La $x$ está dividida por $3$: la inversa es multiplicar por $3$ ambos lados. $x = 3\times 3 = 9$.
Paso 3 (comprobación). $\dfrac{9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5$. ✓

Con coeficientes fraccionarios, el truco es deshacer la fracción multiplicando por el denominador.

Ejemplo resuelto: inecuación $\;3x - 1 < 8$

Paso 1. Sumo $1$ a ambos lados (la desigualdad se mantiene): $3x < 9$.
Paso 2. Divido por $3$ (positivo, no cambia el sentido): $x < 3$.
Paso 3. Interpreto: no hay una sola respuesta. Sirven todos los números menores que $3$ ($2, 1, 0, \ldots$), pero no el $3$.

En la recta numérica se marca todo lo que está a la izquierda del $3$, con el $3$ excluido (punto abierto). Si fuera $\le$, el $3$ se incluiría (punto cerrado).

La regla propia de la inecuación: multiplicar o dividir por un negativo invierte el signo

Sumar o restar a ambos lados mantiene el sentido de la desigualdad, y dividir o multiplicar por un número positivo también. Pero si divides o multiplicas por un número negativo, el signo se da vuelta: el $<$ pasa a $>$ y viceversa. Por ejemplo, en $-2x < 6$, al dividir por $-2$ queda $x > -3$ (no $x<-3$): comprueba con $x=0$, que cumple $-2\times0=0<6$ y también $0>-3$. Esta es la única diferencia real entre resolver una ecuación y una inecuación.

Figura 4. La inecuación x < 3 en la recta numérica: punto abierto sobre el 3 (no se incluye) y todas las soluciones a la izquierda. Si fuera x ≤ 3, el punto sería cerrado y el 3 quedaría incluido.

Auto-chequeo Resuelve y comprueba: $\;5x - 3 = 12$.

Sumo $3$ a ambos lados: $5x = 15$. Divido por $5$: $x = 3$. Comprobación: $5\times 3 - 3 = 12$. ✓

Auto-chequeo Resuelve la inecuación $\;x + 4 \ge 6\;$ e interprétala.

Resto $4$ a ambos lados: $x \ge 2$. Soluciones: todos los números mayores o iguales a $2$ (incluido el $2$, porque es $\ge$). En la recta, punto cerrado en $2$ y sombreado a la derecha.

Pregunta tipo ECEP

Una docente revisa el cuaderno de un estudiante que resolvió la ecuación $2x + 6 = 20$ y escribió: "$2x = 20 + 6$, entonces $2x = 26$ y $x = 13$". ¿Cuál es el error que debe abordar la docente?

A) Dividió por $2$ antes de despejar el término independiente del lado izquierdo.
B) Sumó mal los términos numéricos del lado derecho de la igualdad inicial.
C) No cambió el signo del término al despejarlo: debió restar $6$, no sumarlo.
D) Multiplicó ambos lados por $2$ en lugar de dividir para aislar la incógnita.

Correcta: C. Al despejar, el $+6$ debe pasar restando ($2x = 20 - 6 = 14$, $x = 7$); el estudiante lo sumó, obteniendo $26$ y $x=13$ (que no comprueba: $2\times13+6=32\neq20$). El concepto a reparar es aplicar la operación inversa (restar $6$ a ambos lados). A y D describen pasos que el estudiante no ejecutó así (sí dividió por $2$ correctamente al final). B atribuye el error a una mala suma, pero $20+6$ está bien sumado: el problema es que esa suma no debía hacerse.

Pregunta tipo ECEP

Una docente planificará la primera clase del objetivo "resolver inecuaciones lineales en el contexto de la resolución de problemas". Quiere que los estudiantes deduzcan las propiedades de las desigualdades antes de aplicar un procedimiento. ¿Qué actividad es más adecuada para iniciar?

A) Usar un software educativo para que el programa entregue directamente el conjunto solución de varias inecuaciones ya planteadas.
B) Usar la recta numérica para explorar qué les ocurre a las desigualdades al sumar, restar o multiplicar, y deducir sus propiedades.
C) Entregar una guía con el procedimiento resuelto de diez inecuaciones para que los estudiantes lo copien y repitan con otros números.
D) Dictar la definición formal de inecuación y de conjunto solución, con un ejemplo escrito en la pizarra para el cuaderno.

Correcta: B. Para deducir propiedades al iniciar, lo pertinente es explorar y descubrir con la recta numérica cómo cambia (o se mantiene) una desigualdad al operar a ambos lados: el estudiante construye la regla. A entrega el resultado servido por el software, sin descubrir nada. C es copiar y repetir un procedimiento, no deducir. D parte de la definición abstracta, justo lo que el enunciado pide no hacer primero.

Pregunta tipo ECEP

En una prueba de 7° básico se pide resolver la ecuación con coeficiente fraccionario $\;\dfrac{x}{2} + 3 = 8$. ¿Cuál es su solución?

A) $x = 16$
B) $x = 2{,}5$
C) $x = 5$
D) $x = 10$

Correcta: D. Resto $3$ a ambos lados: $\dfrac{x}{2}=5$. La $x$ está dividida por $2$, así que multiplico por $2$ ambos lados: $x=10$ (comprobación: $\dfrac{10}{2}+3=8$ ✓). A ($16$) multiplica por $2$ sin restar el $3$ primero: $\frac{x}{2}=8 \Rightarrow x=16$. B ($2{,}5$) divide por $2$ en vez de multiplicar (operación no inversa): $5:2$. C ($5$) se queda en $\frac{x}{2}=5$ y olvida deshacer la división por $2$.

Subdominio 2.3 · Funciones

Relaciones entre cantidades en el plano cartesiano

Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada un único valor de salida. La entrada es la variable independiente (la que yo elijo o controlo); la salida es la variable dependiente (la que resulta). El conjunto de entradas posibles es el dominio; el de salidas, el recorrido. En el primer ciclo aparecen sobre todo dos funciones: la lineal ($y=mx$, que pasa por el origen) y la afín ($y=mx+n$, que parte en otro punto). La prueba te pide leer estas funciones desde una tabla o un gráfico, identificar sus variables y reconocer el rol de sus parámetros $m$ y $n$.

2.3

Dominio y recorrido; variable dependiente e independiente

Desde cero

Para identificar las variables, pregúntate qué depende de qué:

Variable independiente ($x$): la que se elige libremente, la causa. Va en el eje horizontal.
Variable dependiente ($y$): la que se obtiene como consecuencia, el efecto. Va en el eje vertical.
Dominio: todos los valores que puede tomar la variable independiente (las entradas válidas).
Recorrido: todos los valores que toma la variable dependiente (las salidas que efectivamente se producen).

Ejemplo: en "una electricista cobra $\$16\,000$ fijos más $\$2\,000$ por hora", el número de horas es la independiente (yo decido cuántas), y el pago total es la dependiente (resulta de las horas). El pago depende de las horas, no al revés.

El plano cartesiano: eje horizontal x (independiente) y vertical y (dependiente), con un punto y su par ordenado — **Figura 5.** El plano cartesiano: la variable independiente en el eje horizontal y la dependiente en el vertical.

Figura 6. La misma relación, en tabla y en el plano cartesiano: cada par (cuadernos, precio) es un punto, y al ser proporcional, todos quedan alineados subiendo.

Ejemplo resuelto: dominio y recorrido de una venta de entradas

"Las entradas de una sala de cine valen $\$5\,800$ y la sala tiene capacidad para $200$ personas. La función relaciona entradas vendidas con dinero recaudado."

Variable independiente: la cantidad de entradas vendidas (la que controla la venta). Dominio: de $0$ a $200$ (no se pueden vender más que la capacidad).
Variable dependiente: el dinero recaudado, que resulta de multiplicar $5\,800$ por las entradas. Recorrido: de $\$0$ a $5\,800\times 200 = \$1\,160\,000$.

Lo clave: el dominio describe las entradas vendidas para esa sala y el recorrido, el dinero recaudado por esas entradas. Confundirlos (poner el dinero como dominio) es el error que la prueba busca.

El error típico: invertir dependiente e independiente

Decir que "el pago es la variable independiente" porque aparece primero en el enunciado. No: la independiente es la causa que se elige (las horas), y la dependiente es lo que resulta (el pago). Prueba mental: ¿cuál puedo fijar a voluntad y cuál queda determinada? Lo que fijo es la independiente.

Auto-chequeo Un taxi cobra un valor por kilómetro recorrido. ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?

Independiente: los kilómetros recorridos (los elijo según mi viaje). Dependiente: el valor a pagar, que resulta de los kilómetros. El cobro depende de la distancia, no al revés.

Auto-chequeo En la venta de entradas de cine ($\$5\,800$ c/u, sala para $200$), ¿qué representa el dominio?

El dominio es la cantidad de entradas vendidas para esa sala (de $0$ a $200$): los valores que toma la variable independiente. El recorrido es el dinero recaudado por esas entradas.

Pregunta tipo ECEP

Una electricista cobra un cargo fijo de $\$16\,000$ más $\$2\,000$ por hora trabajada. La situación se modela con una función. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) La variable independiente de esta situación es el cargo fijo que cobra la electricista.
B) La variable independiente es el valor de $\$2\,000$ que cobra por cada hora.
C) La variable dependiente es el número de horas que trabaja la electricista.
D) La variable dependiente es el pago total que recibe la electricista.

Correcta: D. El pago total es la variable dependiente: resulta de cuántas horas se trabajen ($\text{pago}=16\,000+2\,000\cdot\text{horas}$). C invierte los roles: las horas son la independiente (lo que se elige). A y B confunden las variables con los parámetros constantes ($16\,000$ y $2\,000$ no varían: son fijos, no variables).

Pregunta tipo ECEP

El valor de las entradas generales al cine en la sala 2D es de $\$5\,800$ y la capacidad máxima de la sala es de $200$ personas. ¿Cuál es el dominio y cuál el recorrido de la función que modela la venta de entradas y la recaudación de dinero para la sala 2D?

A) El dominio es la cantidad de entradas vendidas para la sala 2D y el recorrido, el dinero recaudado por esas entradas.
B) El dominio es el dinero recaudado por la sala 2D y el recorrido, la cantidad de entradas vendidas para esa sala.
C) El dominio es el dinero recaudado por la sala 2D y el recorrido, la capacidad máxima de personas de la sala.
D) El dominio es la capacidad máxima de la sala 2D y el recorrido, el valor fijo de cada entrada general.

Correcta: A. La variable independiente (el dominio) es la cantidad de entradas vendidas (de $0$ a $200$); la dependiente (el recorrido) es el dinero recaudado, que resulta de multiplicarlas por $\$5\,800$. B y C invierten dominio y recorrido (ponen el dinero como entrada, cuando es la salida). D confunde el recorrido con un parámetro fijo (el precio por entrada no varía: no es el recorrido).

2.3

Función lineal y afín: parámetros m y n, gráfica y modelación

Desde cero

La función afín tiene la forma $y = mx + n$, y su gráfica es siempre una recta. Sus dos parámetros tienen un significado visual claro:

$m$ es la pendiente: cuánto sube (o baja) la recta por cada paso a la derecha. Si $m>0$, la recta sube (creciente); si $m<0$, baja (decreciente). Mientras mayor el $|m|$, más empinada.
$n$ es el intercepto: el valor de $y$ donde la recta corta el eje vertical (cuando $x=0$). Si $n>0$, corta arriba del origen; si $n<0$, abajo.

Cuando $n=0$, la recta pasa por el origen y la función se llama lineal ($y=mx$): es el caso de la proporcionalidad directa. Cuando $n\neq0$, es afín ($y=mx+n$).

Figura 7. Los dos parámetros de la recta afín: $n$ es el intercepto (dónde corta el eje $y$, cuando $x=0$) y $m$ es la pendiente (cuánto sube $y$ por cada paso a la derecha). Si $m<0$, la recta baja.

Ejemplo resuelto: leer los signos de $m$ y $n$ desde el gráfico

Tengo la gráfica de una recta $f(x)=mx+n$ que baja de izquierda a derecha y corta el eje vertical por encima del origen. ¿Qué signos tienen $m$ y $n$?

Paso 1 (la pendiente $m$). La recta baja $\Rightarrow$ es decreciente $\Rightarrow m$ es negativo.
Paso 2 (el intercepto $n$). Corta el eje $y$ arriba del origen (en un valor positivo) $\Rightarrow n$ es positivo.

Conclusión: $m<0$ y $n>0$. Una recta que baja pero arranca alto.

Ejemplo resuelto: modelar con una función afín

La electricista cobra $\$16\,000$ fijos más $\$2\,000$ por hora. Modelemos el pago $y$ según las horas $x$:

Paso 1. El cargo fijo ($16\,000$) no depende de las horas: es el intercepto $n$ (lo que se paga aunque $x=0$).
Paso 2. Los $\$2\,000$ por hora son lo que se suma por cada hora: es la pendiente $m$.
Paso 3. El modelo es $y = 2\,000\,x + 16\,000$. Para $3$ horas: $2\,000\times 3 + 16\,000 = \$22\,000$.

Regla práctica para modelar: lo fijo es $n$; lo que se cobra por cada unidad es $m$.

En la ECEP

Te muestran un gráfico y preguntan los signos de $m$ y $n$, o cuál función se ajusta a la recta dibujada. Mira dos cosas: ¿la recta sube o baja? (define el signo de $m$) y ¿corta el eje $y$ arriba o abajo del origen? (define el signo de $n$). Con esos dos datos descartas casi todas las alternativas sin calcular.

Auto-chequeo Una recta sube de izquierda a derecha y corta el eje vertical bajo el origen. ¿Signos de $m$ y $n$?

Sube $\Rightarrow m>0$ (positivo). Corta el eje $y$ bajo el origen $\Rightarrow n<0$ (negativo). Es una recta creciente que arranca por debajo del eje horizontal.

Auto-chequeo En la función $f(x)=2x+1$, ¿cuánto vale $f(0)$ y qué representa ese número en el gráfico?

$f(0)=2\times 0 + 1 = 1$. Ese $1$ es el intercepto $n$: el punto donde la recta corta el eje vertical. La pendiente $m=2$ indica que sube $2$ por cada paso a la derecha.

Pregunta tipo ECEP

La gráfica de una función afín $f(x)=mx+n$ muestra una recta que desciende de izquierda a derecha y que corta el eje vertical por encima del origen. ¿Cuáles son los signos de los parámetros $m$ y $n$?

A) $m$ es negativo y $n$ es positivo.
B) $m$ y $n$ son positivos.
C) $m$ y $n$ son negativos.
D) $m$ es positivo y $n$ es negativo.

Correcta: A. La recta desciende, así que la pendiente es negativa ($m<0$); corta el eje $y$ arriba del origen, así que el intercepto es positivo ($n>0$). B ($m>0$) describiría una recta creciente, no descendente. C ($n<0$) pondría el corte bajo el origen, contradiciendo "por encima". D invierte ambos: recta creciente y corte abajo, lo opuesto a lo descrito.

Pregunta tipo ECEP

Un docente presenta el gráfico de una recta que pasa por el punto $(0,1)$ en el eje vertical y baja hacia la derecha (por cada paso a la derecha, baja una unidad). Pide a los estudiantes elegir la función afín que mejor se ajusta. ¿Cuál es?

A) $f(x) = -x + 1$
B) $f(x) = x + 1$
C) $f(x) = x - 1$
D) $f(x) = -x - 1$

Correcta: A. Corta el eje $y$ en $1$ $\Rightarrow n=+1$; baja una unidad por paso $\Rightarrow$ pendiente $m=-1$. La función es $f(x)=-x+1$. B tiene el intercepto correcto ($+1$) pero pendiente positiva ($m=+1$): subiría, no baja. C erra el intercepto ($n=-1$, cortaría abajo) y la pendiente. D acierta la pendiente negativa pero pone $n=-1$: cortaría el eje bajo el origen, no en $1$.