Números · Dossier ECEP Básica Matemática - Francisco Javier Núñez Valenzuela

Subdominio 1.1 · Sistemas numéricos

Divisibilidad, orden y operatoria con racionales

Aquí la prueba te pone a resolver, no a recitar definiciones. Hay tres familias de tareas: reconocer propiedades de los números (múltiplos, factores, divisibilidad, primos y los términos de la división); ordenar y comparar enteros y racionales en distintos registros (recta numérica, símbolos, contexto); y resolver problemas aplicando operaciones con racionales en sus tres formatos (enteros, decimales y fracciones). Cada tarjeta trae al menos un ejemplo resuelto paso a paso para que veas cómo se llega al resultado. Recuerda: la prueba no permite calculadora, así que conviene afinar el cálculo a mano.

1.1

Múltiplos, factores y divisibilidad; primos y compuestos; términos de la división

Desde cero

Dos números están en una relación de divisibilidad cuando uno cabe exactamente en el otro, sin que sobre nada. De ahí salen varias palabras que la prueba usa con precisión:

Múltiplo: los que se obtienen al multiplicar un número por $1, 2, 3, \ldots$ Los múltiplos de $4$ son $4, 8, 12, 16, \ldots$ (la "tabla del 4").
Factor (o divisor): un número que divide a otro de forma exacta. Los factores de $12$ son $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$ (todos lo dividen sin resto).
Divisibilidad: decir que "$12$ es divisible por $3$" es lo mismo que decir que "$3$ es factor de $12$" o que "$12$ es múltiplo de $3$": son tres formas de la misma relación.

Según cuántos factores tiene, un número natural mayor que $1$ es de una de dos clases:

Primo: tiene exactamente dos factores, el $1$ y él mismo. Ejemplos: $2, 3, 5, 7, 11, 13$. El $2$ es el único primo par.
Compuesto: tiene más de dos factores. Ejemplos: $4$ (factores $1, 2, 4$), $6$, $9$, $12$. El $1$ no es ni primo ni compuesto (tiene un solo factor).

Número primo: solo se divide por 1 y por sí mismo (2, 3, 5, 7). Número compuesto: se forma multiplicando primos, por ejemplo 12 = 2 × 2 × 3 — **Figura 1.** Los **números primos** tienen solo dos factores ($1$ y ellos mismos); los **compuestos** se construyen multiplicando primos. Todo número compuesto se descompone en factores primos: $12 = 2\times 2\times 3$.

Los criterios de divisibilidad (sin dividir)

Permiten saber si un número se divide por otro mirándolo, sin hacer la cuenta. Son muy útiles cuando no hay calculadora:

Divisible por…	Cuando…	Ejemplo
2	termina en cifra par ($0, 2, 4, 6, 8$).	$138$ termina en $8$ → sí.
3	la suma de sus cifras es múltiplo de $3$.	$246 \to 2+4+6=12$ → sí.
5	termina en $0$ o en $5$.	$735$ termina en $5$ → sí.
9	la suma de sus cifras es múltiplo de $9$.	$513 \to 5+1+3=9$ → sí.
10	termina en $0$.	$4\,500$ → sí.

Los términos de la división

El temario pide nombrarlos con exactitud. En la división $17 : 5$:

Dividendo ($17$): el número que se reparte.
Divisor ($5$): en cuántas partes se reparte.
Cociente ($3$): cuántas veces cabe el divisor entero.
Resto ($2$): lo que sobra. La división es exacta cuando el resto es $0$.

La relación clave que conecta los cuatro es la prueba de la división: $\;\text{dividendo} = \text{divisor} \times \text{cociente} + \text{resto}$. Aquí: $17 = 5 \times 3 + 2$. El resto siempre es menor que el divisor (si fuera igual o mayor, todavía cabría una vez más).

Figura 2. Los cuatro términos de la división $17 : 5$: el dividendo ($17$) se reparte entre el divisor ($5$), dando un cociente ($3$) y un resto ($2$). La prueba de la división lo comprueba: $17 = 5 \times 3 + 2$.

El número 235 descompuesto en 2 centenas, 3 decenas y 5 unidades con bloques de base diez — **Figura 3.** El sistema decimal es **posicional**: cada cifra vale según su lugar. En $235$ hay $2$ centenas, $3$ decenas y $5$ unidades. Entender el valor posicional es la base para los criterios de divisibilidad y para comparar números.

Ejemplo resuelto: descomponer en factores primos

Todo número compuesto se puede escribir como producto de primos (su "descomposición prima"), y esa escritura es única. Descompongamos $60$ dividiendo por primos en orden, de menor a mayor:

Paso 1. ¿Divisible por $2$? $60 : 2 = 30$. Anoto el $2$.
Paso 2. $30 : 2 = 15$. Anoto otro $2$.
Paso 3. $15$ ya no es par; pruebo el $3$: $15 : 3 = 5$. Anoto el $3$.
Paso 4. $5$ es primo: $5 : 5 = 1$. Anoto el $5$ y termino.

Resultado: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$. Esta descomposición es la base para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, que aparecen al sumar fracciones.

El error típico

Confundir múltiplo con factor. Un múltiplo de $6$ es más grande o igual que $6$ ($6, 12, 18, \ldots$); un factor de $6$ es más chico o igual que $6$ ($1, 2, 3, 6$). Truco: el factor cabe dentro, el múltiplo contiene. Otro error frecuente: creer que el $1$ es primo. No lo es, porque "primo" exige exactamente dos factores y el $1$ tiene solo uno.

En la ECEP

La prueba suele dar una situación (repartir objetos en grupos iguales, formar filas, calcular sobrantes) y preguntar por el resto, por un múltiplo o divisor común, o por una propiedad ("¿cuál es siempre múltiplo de $3$?"). Estrategia: traduce el reparto a una división, identifica los cuatro términos y usa la prueba $\text{D} = \text{d}\times\text{c}+\text{r}$ para verificar. Si te piden propiedades generales, prueba con números concretos antes de elegir.

Auto-chequeo Al dividir $43$ entre $6$, ¿cuáles son el cociente y el resto? Verifica con la prueba de la división.

Cociente $7$, resto $1$. El $6$ cabe $7$ veces en $43$ ($6\times7=42$) y sobra $1$. Comprobación: $6 \times 7 + 1 = 43$. ✓ El resto ($1$) es menor que el divisor ($6$), como debe ser.

Auto-chequeo ¿Es $91$ primo o compuesto?

Compuesto. Parece primo, pero $91 = 7 \times 13$. Tiene más de dos factores ($1, 7, 13, 91$), así que es compuesto. Conviene probar la divisibilidad por los primos pequeños ($2, 3, 5, 7, 11, 13$) antes de declararlo primo.

Pregunta tipo ECEP

Sean $a$ y $b$ números naturales múltiplos de $3$. Se divide $a$ entre $b$, obteniéndose un cociente $c$ y un resto $d$. ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre múltiplo de $3$?

A) $a + d$, porque al sumar el dividendo y el resto se conserva la divisibilidad por tres.
B) $a - b$, ya que la resta de dos múltiplos de tres es de nuevo múltiplo de tres.
C) $a + c$, pues sumar el dividendo y el cociente da de nuevo un múltiplo de tres.
D) $c + d$, dado que el cociente y el resto siempre suman un múltiplo de tres.

Correcta: B. Si $a$ y $b$ son ambos múltiplos de $3$, su resta también lo es: la diferencia de dos múltiplos de un número conserva esa propiedad (por ejemplo $12-9=3$, $18-6=12$). A falla: $d$ es el resto, que no tiene por qué ser múltiplo de $3$, así que $a+d$ tampoco lo es siempre. C tampoco: $c$ es el cociente, que puede no ser múltiplo de $3$ (por ejemplo $a=6$, $b=12$ da $c=0$, pero $a=9$, $b=6$ da $c=1$), así que $a+c$ no lo es siempre. D mezcla cociente y resto, dos términos sin relación de divisibilidad garantizada con $3$.

Pregunta tipo ECEP

Un docente de 5° básico aborda el OA "identificar los factores de un número y reconocer números primos y compuestos". Quiere una actividad que ayude a los estudiantes a descubrir por sí mismos por qué un número es primo o compuesto, en vez de entregarles la definición ya hecha. ¿Cuál es la más pertinente?

A) Dictar la definición de número primo y compuesto y pedir que copien en el cuaderno cinco ejemplos de cada clase.
B) Proyectar una lista con los números primos hasta el $50$ y solicitar que la memoricen para una prueba breve.
C) Mostrar un video sobre primos y compuestos y luego responder una guía con preguntas sobre lo observado.
D) Pedir que formen rectángulos con una cantidad dada de fichas y observen cuántas disposiciones distintas admite cada número.

Correcta: D. Con fichas, un número primo solo forma un rectángulo (una fila), mientras que un compuesto admite varios (por sus distintos pares de factores): así el estudiante descubre la diferencia manipulando, ligándola a los factores. A entrega la definición servida, sin construcción. B apela a la memoria, no a la comprensión. C es pasiva y no hace visible por qué un número es primo o compuesto.

1.1

Ordenar y comparar números enteros y racionales (recta, símbolos, contexto)

Desde cero

Los números enteros ($\mathbb{Z}$) son los naturales, sus opuestos negativos y el cero: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ Los números racionales ($\mathbb{Q}$) son todos los que se pueden escribir como fracción $\frac{a}{b}$ (con $b \neq 0$): incluyen a los enteros, a los decimales finitos y a las fracciones. Comparar es decidir cuál es mayor; ordenar es ponerlos en fila de menor a mayor (o al revés).

La idea que ordena todo es la recta numérica: a la derecha está siempre lo mayor; a la izquierda, lo menor. Esto resuelve de inmediato los negativos.

Comparar enteros: cuidado con los negativos

Entre negativos, la regla del día a día se invierte: cuanto mayor parece el número, menor es en realidad. Así, $-2 > -7$ (aunque $7 > 2$), porque $-2$ está más a la derecha en la recta. Una temperatura de $-2\,°\text{C}$ es más alta que una de $-7\,°\text{C}$: ese contexto cotidiano ayuda a no equivocarse.

Figura 4. En la recta numérica, a la derecha está siempre lo mayor y a la izquierda lo menor. Por eso $-2 > -7$: aunque $7 > 2$, el $-2$ queda más a la derecha que el $-7$.

Comparar fracciones y decimales

Igual denominador: manda el numerador. $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.
Igual numerador: manda el denominador más chico, porque parte el entero en trozos más grandes. $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.
Distintas: se llevan a un denominador común y luego se comparan los numeradores; o se pasan a decimal dividiendo numerador entre denominador.
Decimales: se comparan cifra a cifra, de izquierda a derecha (enteros, décimos, centésimos…). $0{,}7 > 0{,}65$ porque $7$ décimos superan a $6$ décimos, aunque "$65$" parezca más que "$7$".

Tres barras de igual largo que muestran que un medio, dos cuartos y tres sextos cubren la misma parte del entero — **Figura 5.** Fracciones equivalentes: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ cubren la misma parte del entero. Verlas en barras de igual largo facilita compararlas y ordenarlas.

Ejemplo resuelto: ordenar racionales distintos

Ordenemos de menor a mayor $\;\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$ y $\frac{7}{10}$.

Paso 1. Busco un denominador común. Un múltiplo común de $3, 6$ y $10$ es $30$.
Paso 2. Amplifico cada fracción a treintavos: $\frac{2}{3}=\frac{20}{30}$ ; $\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$ ; $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$.
Paso 3. Con igual denominador, comparo numeradores: $20 < 21 < 25$.

Orden de menor a mayor: $\;\frac{2}{3} < \frac{7}{10} < \frac{5}{6}$.

El error típico

Creer que $\frac{1}{5} > \frac{1}{3}$ "porque $5 > 3$". Es al revés: mientras en más partes divides el entero, más pequeña es cada parte. Un quinto de chocolate es menos que un tercio. Y con decimales, pensar que $0{,}65 > 0{,}7$ "porque tiene más cifras": no; se comparan los décimos primero, y $7 > 6$.

En la ECEP

Aparecen ítems de distancia en la recta ("¿qué distancia hay entre el sucesor impar de $-11$ y el antecesor par de $-2$?") y de ordenar fracciones mezcladas con enteros. Estrategia: dibuja una mini recta numérica para los enteros (sobre todo negativos) y lleva las fracciones a un denominador común antes de comparar. No te fíes de la apariencia de las cifras.

Auto-chequeo Ordena de menor a mayor: $-3$, $\;0{,}5$, $\;-\tfrac{1}{2}$, $\;2$.

En la recta, de izquierda a derecha: $-3 < -\tfrac{1}{2} < 0{,}5 < 2$. El $-3$ es el más a la izquierda; $-\tfrac{1}{2}=-0{,}5$ es negativo pero mayor que $-3$; luego $0{,}5$ y por último $2$.

Pregunta tipo ECEP

En la recta numérica, ¿cuál es la distancia que existe entre el sucesor impar de $-11$ y el antecesor par de $-2$?

A) $13$ unidades, contando desde $-11$ hasta el $2$ que aparece en el enunciado.
B) $6$ unidades, que es la diferencia directa entre los números $-9$ y $-3$.
C) $5$ unidades, las que separan al número $-9$ del número $-4$ en la recta.
D) $9$ unidades, contadas entre los valores $-11$ y $-2$ ya dados.

Correcta: C. El sucesor de $-11$ es $-10$, pero como pide el sucesor impar, es $-9$. El antecesor de $-2$ es $-3$ (impar), así que el antecesor par es el siguiente par hacia atrás: $-4$. La distancia entre $-9$ y $-4$ es $|-4-(-9)|=5$ unidades. B toma $-3$ como antecesor par (error: $-3$ es impar), dando $6$. A y D usan los números $-11$ y $-2$ del enunciado sin aplicar "sucesor impar / antecesor par".

Pregunta tipo ECEP

En una competencia de salto largo, cuatro estudiantes registran estas marcas: Ana $3{,}7$ m; Beto $3{,}65$ m; Carla $3{,}8$ m; Dani $3{,}59$ m. ¿Quién obtuvo la marca más larga?

A) Carla, con $3{,}8$ m, porque al comparar los décimos su cifra ($8$) supera a las de los demás.
B) Beto, con $3{,}65$ m, ya que su marca tiene más cifras decimales que la de los otros saltos.
C) Ana, con $3{,}7$ m, dado que el número $7$ del enunciado es el mayor entre los presentados.
D) Dani, con $3{,}59$ m, puesto que $59$ es la cantidad más grande escrita después de la coma.

Correcta: A. Con igual parte entera ($3$), se comparan los décimos: $8 > 7 > 6 > 5$, así que $3{,}8 > 3{,}7 > 3{,}65 > 3{,}59$. Carla gana. B y D caen en el error de creer que "más cifras decimales" o "el número más grande tras la coma" significa mayor valor: $3{,}65$ y $3{,}59$ son menores que $3{,}8$. C compara mal, fijándose en la cifra suelta y no en el valor posicional.

1.1

Resolver problemas con operaciones de racionales (enteros, decimales, fracciones propias e impropias)

Desde cero

Un mismo número racional se puede escribir en tres formatos y conviene moverse entre ellos:

Fracción propia: el numerador es menor que el denominador; vale menos de un entero. Ejemplo: $\frac{3}{4}$.
Fracción impropia: el numerador es mayor o igual que el denominador; vale uno o más enteros. Ejemplo: $\frac{7}{4}$. Se puede escribir como número mixto: $\frac{7}{4}=1\tfrac{3}{4}$.
Decimal: se obtiene dividiendo numerador entre denominador. $\frac{3}{4}=0{,}75$.

Resolver un problema es elegir la operación correcta (suma, resta, multiplicación o división) y operar con cuidado en el formato más cómodo.

Las reglas que más se preguntan

Sumar/restar fracciones: con igual denominador, se operan los numeradores y se mantiene el denominador. Con distinto denominador, primero se iguala (denominador común) y luego se suman los numeradores. Nunca se suman los denominadores entre sí.
Multiplicar fracciones: numerador por numerador y denominador por denominador. $\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$.
Dividir fracciones: se multiplica por el inverso (se "da vuelta" la segunda). $\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
Decimales: al sumar y restar se alinea la coma; al multiplicar se cuentan los decimales del resultado; al dividir conviene quitar la coma multiplicando ambos por $10, 100, \ldots$

Ejemplo resuelto: sumar fracciones con distinto denominador

Laura pintó $\frac{2}{8}$ de una pared y José pintó $\frac{3}{8}$. ¿Qué fracción de la pared quedó sin pintar?

Paso 1. Lo pintado: como tienen igual denominador, sumo los numeradores: $\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.
Paso 2. La pared completa es $\frac{8}{8}$ (un entero). Lo que falta: $\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$.

Quedó sin pintar $\frac{3}{8}$ de la pared. Fíjate que la respuesta exige interpretar el contexto (lo que falta), no solo sumar.

Ejemplo resuelto: amplificar una receta (multiplicar fracciones)

Para un postre de $4$ personas se usan $\frac{3}{4}$ de kilo de plátanos. Para $10$ personas, ¿cuántos kilos de plátanos se necesitan?

Paso 1. El factor de aumento es $\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ (de $4$ a $10$ personas).
Paso 2. Multiplico la cantidad por ese factor: $\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$ de kilo.
Paso 3. Lo expreso como número mixto para interpretarlo: $\frac{15}{8}=1\tfrac{7}{8}$ kilos, es decir casi $2$ kilos.

Resultado: $\frac{15}{8}$ de kilo de plátanos. Pasar la fracción impropia a mixto ayuda a "ver" la magnitud.

El error típico

Sumar fracciones "en línea recta": $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ (mal), sumando numeradores y denominadores por separado. Lo correcto exige un denominador común: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Una pista de sentido común: $\frac{1}{2}$ ya es mayor que $\frac{2}{5}$, así que la suma no puede dar $\frac{2}{5}$.

En la ECEP

Predominan los problemas en contexto: recetas que se amplían, estanques que se llenan y vacían por partes, dinero, repartos. La trampa habitual es elegir mal la operación o no interpretar el resultado según lo que pide la pregunta ("lo que falta", "lo que quedó", "el total"). Estrategia: subraya qué te preguntan, ordena los datos, opera y al final relee si tu número responde exactamente esa pregunta.

Auto-chequeo Un estanque tiene $\frac{4}{10}$ de su capacidad. Julio extrae $\frac{3}{10}$ y luego Inés agrega $\frac{2}{10}$. ¿Con qué fracción de su capacidad queda?

Todas con igual denominador: $\frac{4}{10}-\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$. Quedó con $\frac{3}{10}$ de su capacidad. Se opera de izquierda a derecha respetando el orden de los hechos.

Auto-chequeo Convierte $\frac{7}{4}$ a número mixto y a decimal.

Mixto: $7:4 = 1$ con resto $3$, así que $\frac{7}{4}=1\tfrac{3}{4}$. Decimal: $7:4=1{,}75$. Las tres escrituras valen lo mismo.

Pregunta tipo ECEP

Para un postre de $4$ personas se necesitan $1\tfrac{1}{2}$ kg de manzanas, $\tfrac{1}{2}$ kg de naranjas y $\tfrac{3}{4}$ kg de plátanos. Si se quiere el mismo postre para $10$ personas, ¿cuántos kilogramos de fruta se requieren en total?

A) $6\tfrac{7}{8}$ kg, amplificando la fruta total de $4$ personas por el factor $\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}$.
B) $2\tfrac{3}{4}$ kg, que es lo que se necesita para las $4$ personas iniciales del postre.
C) $5\tfrac{1}{2}$ kg, duplicando la cantidad de fruta de la receta de cuatro personas.
D) $1\tfrac{7}{8}$ kg, considerando solo la cantidad de plátanos amplificada del postre.

Correcta: A. Para $4$ personas el total es $1\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{6}{4}+\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}$ kg. El factor de $4$ a $10$ personas es $\tfrac{10}{4}=\tfrac{5}{2}$, así que el total es $\tfrac{11}{4}\times\tfrac{5}{2}=\tfrac{55}{8}=6\tfrac{7}{8}$ kg. B entrega el total sin amplificar ($2\tfrac{3}{4}$ kg, las $4$ personas). C solo duplica (factor $2$ en vez de $\tfrac{5}{2}$). D amplifica únicamente los plátanos ($\tfrac{3}{4}\times\tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{8}=1\tfrac{7}{8}$), olvidando las manzanas y naranjas.

Subdominio 1.2 · Proporciones y porcentajes

Cuando dos cantidades varían juntas

Muchísimas situaciones reales relacionan dos cantidades que cambian a la vez: precio y peso, velocidad y tiempo, ingredientes y comensales. El temario te pide representar esas situaciones en tablas y gráficos, reconocer si la relación es directa, inversa o no proporcional, resolver problemas rutinarios de proporción y calcular porcentajes interpretando el resultado en el contexto. La clave es siempre la misma: mirar cómo cambia una cantidad cuando cambia la otra.

1.2

Representar y reconocer variables: directamente, inversamente y no proporcionales

Desde cero

Dos cantidades que cambian juntas pueden hacerlo de tres formas. La diferencia se ve en la tabla de valores:

Directamente proporcionales: si una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción; al doble de una, el doble de la otra. Su cociente es constante: $\frac{y}{x}=k$. Ejemplo: kilos de pan y precio a pagar.
Inversamente proporcionales: si una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción; al doble de una, la mitad de la otra. Su producto es constante: $x\cdot y=k$. Ejemplo: número de máquinas iguales y tiempo en terminar un trabajo.
No proporcionales: cambian juntas, pero sin mantener constante el cociente ni el producto. Ejemplo: la edad de una persona y su estatura (crecen juntas un tiempo, pero no en proporción fija).

La prueba de la tabla (el método infalible)

Ante una tabla, haz dos comprobaciones rápidas:

Divide $\dfrac{y}{x}$ en cada columna. Si da siempre lo mismo → directa.
Multiplica $x\cdot y$ en cada columna. Si da siempre lo mismo → inversa.
Si ni el cociente ni el producto se mantienen → no proporcional.

$x$ (máquinas)	1	2	4	$x\cdot y$
$y$ (horas)	$12$	$6$	$3$	$12$ (constante)

El producto $x\cdot y$ vale $12$ en todas las columnas: la relación es inversamente proporcional (más máquinas, menos horas).

Figura 6. Las dos proporcionalidades en el gráfico: la directa es una recta que pasa por el origen y sube (su cociente $y/x$ es constante); la inversa es una curva descendente (su producto $x\cdot y$ es constante).

Cómo se ve cada una en el gráfico

La representación gráfica las delata: la directa es una recta que pasa por el origen $(0,0)$ y sube; la inversa es una curva que baja (cuando una crece mucho, la otra se acerca a cero sin tocarlo); la no proporcional puede ser una recta que no pasa por el origen, o cualquier otra forma. Por eso conviene saber leer tanto la tabla como el gráfico.

El error típico

Pensar que "si una sube y la otra sube, es directa". No siempre: la estatura y la edad suben juntas, pero no en proporción fija, así que es no proporcional. La proporcionalidad directa exige que el cociente se mantenga (al doble, el doble exacto). Siempre verifica con la tabla, no por intuición.

En la ECEP

Un formato típico: "¿en cuál de estas situaciones las variables son inversamente proporcionales?" con cuatro contextos. Otro: te dan una tabla y un gráfico y preguntan qué relación hay. Estrategia: traduce cada situación a la prueba del cociente o el producto. "Más obreros, menos días" y "más velocidad, menos tiempo" son las inversas clásicas; "más cantidad, más precio" es la directa clásica.

Auto-chequeo Una tabla muestra: $x=2 \to y=10$; $x=4 \to y=20$; $x=5 \to y=25$. ¿Qué tipo de relación es?

Directamente proporcional. El cociente $\frac{y}{x}$ vale $5$ en todas las columnas ($\frac{10}{2}=\frac{20}{4}=\frac{25}{5}=5$). Como el cociente es constante, es directa, con constante $k=5$.

Pregunta tipo ECEP

¿En cuál de las siguientes situaciones las variables involucradas son inversamente proporcionales?

A) La cantidad de kilogramos de pan comprados y el valor total que se debe pagar en la panadería.
B) El número de máquinas iguales de una fábrica y el tiempo que demoran en elaborar una producción.
C) La remuneración mensual de un trabajador en función de la cantidad de días que trabaja al mes.
D) La estatura y el peso de un infante registrados de acuerdo con la edad que va teniendo.

Correcta: B. A más máquinas, menos tiempo para la misma producción: el producto máquinas $\times$ tiempo se mantiene constante, señal de proporcionalidad inversa. A y C son directas (más pan, más precio; más días, más sueldo: el cociente es constante). D es no proporcional: estatura y peso cambian con la edad, pero sin mantener un cociente ni un producto fijo.

1.2

Resolver problemas rutinarios de proporcionalidad directa o inversa

Desde cero

La herramienta de cabecera es la regla de tres: conociendo tres datos de una proporción, se halla el cuarto. Pero el procedimiento cambia según el tipo:

Directa: se multiplica "en cruz". Si $3$ panes cuestan $\$1\,200$, ¿cuánto cuestan $5$? $\;x=\frac{5\times 1\,200}{3}=\$2\,000$.
Inversa: se usa el producto constante. Si $4$ obreros tardan $6$ días, ¿cuánto tardan $3$? Como obreros $\times$ días $=24$, entonces $x=\frac{24}{3}=8$ días (menos obreros, más días).

Ejemplo resuelto: proporcionalidad directa

Un auto recorre $180$ km con $12$ litros de bencina. ¿Cuántos kilómetros recorre con $20$ litros (mismo rendimiento)?

Paso 1. Es directa: más litros, más kilómetros, en la misma proporción.
Paso 2. Primero el "valor unitario": con $1$ litro recorre $\frac{180}{12}=15$ km.
Paso 3. Con $20$ litros: $15 \times 20 = 300$ km.

Resultado: $300$ km. El método del "valor unitario" (cuánto por cada uno) evita equivocarse con la regla de tres.

Ejemplo resuelto: proporcionalidad inversa

Para vaciar un estanque, $6$ bombas iguales tardan $8$ horas. ¿Cuánto tardarían $4$ bombas?

Paso 1. Es inversa: menos bombas, más horas.
Paso 2. El producto es constante: bombas $\times$ horas $=6\times 8=48$.
Paso 3. Con $4$ bombas: $x=\frac{48}{4}=12$ horas.

Resultado: $12$ horas. Si por error lo hubieras tratado como directa, habrías obtenido menos horas, lo que no tiene sentido: con menos bombas no puede tardar menos.

El error típico

Aplicar la regla de tres directa a un problema inverso. Si crees que "$4$ bombas tardan menos que $6$", contradice el sentido común: menos bombas deben tardar más. Antes de calcular, pregúntate: cuando una cantidad baja, ¿la otra sube (inversa) o baja (directa)? Esa pregunta decide el método.

En la ECEP

Los problemas son rutinarios (una sola proporción), pero el distractor preferido es resolver la inversa como si fuera directa (o viceversa). Estrategia: primero clasifica la relación, después aplica el método correcto y, al final, revisa que el resultado tenga sentido (más trabajadores ⇒ menos tiempo).

Auto-chequeo Si $5$ cuadernos cuestan $\$3\,500$, ¿cuánto cuestan $8$ cuadernos iguales?

Es directa. Valor unitario: $\frac{3\,500}{5}=\$700$ cada uno. Para $8$: $700\times 8=\$5\,600$. (También en cruz: $\frac{8\times 3\,500}{5}=5\,600$.)

Pregunta tipo ECEP

Tres llaves iguales llenan una piscina en $8$ horas. Si se abren $6$ llaves iguales a la vez, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarla?

A) $16$ horas, porque al usar el doble de llaves el tiempo necesario también se duplica.
B) $11$ horas, sumando tres horas extra por cada una de las llaves añadidas al sistema.
C) $4$ horas, ya que al duplicar el número de llaves el tiempo de llenado se reduce a la mitad.
D) $24$ horas, multiplicando las ocho horas iniciales por las tres llaves del enunciado.

Correcta: C. Es proporcionalidad inversa: más llaves, menos tiempo. El producto es constante: llaves $\times$ horas $=3\times 8=24$. Con $6$ llaves, $x=\frac{24}{6}=4$ horas. Como se duplican las llaves (de $3$ a $6$), el tiempo se reduce a la mitad. A trata la relación como si más llaves implicaran más tiempo (absurdo). B suma en vez de usar la proporción. D multiplica los datos sin pensar la relación, dando un tiempo enorme.

1.2

Calcular porcentajes e interpretar los resultados según el contexto

Desde cero

Un porcentaje es una fracción de denominador $100$: $25\%$ significa "$25$ de cada $100$", es decir $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=0{,}25$. Calcular el $25\%$ de una cantidad es lo mismo que multiplicarla por $0{,}25$ (o por $\frac{1}{4}$). Esa es la idea central: porcentaje, fracción y decimal son tres caras del mismo número.

Una misma cantidad en tres formas: barra con la mitad sombreada (1/2 = 0,5 = 50%) y barra con un cuarto sombreado (1/4 = 0,25 = 25%) — **Figura 7.** Una misma cantidad, tres formas de escribirla: la **fracción**, el **decimal** y el **porcentaje** nombran la misma parte del entero ($\tfrac{1}{2}=0{,}5=50\%$; $\tfrac{1}{4}=0{,}25=25\%$).

Los porcentajes que conviene tener memorizados

Porcentaje	Fracción	Decimal	Atajo
$50\%$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	la mitad
$25\%$	$\frac{1}{4}$	$0{,}25$	la mitad de la mitad
$10\%$	$\frac{1}{10}$	$0{,}1$	correr la coma un lugar
$20\%$	$\frac{1}{5}$	$0{,}2$	el $10\%$ por dos

Figura 8. Un porcentaje es una parte de cada $100$. El $25\%$ es lo mismo que la fracción $\frac{1}{4}$ y que el decimal $0{,}25$: las tres expresiones nombran la misma parte del entero.

Ejemplo resuelto: calcular un porcentaje

En un curso de $40$ estudiantes, el $35\%$ participa en el coro. ¿Cuántos estudiantes son?

Paso 1. $35\%=\frac{35}{100}=0{,}35$.
Paso 2. Multiplico por la cantidad total: $0{,}35 \times 40 = 14$.
Paso 3 (truco sin calculadora). El $10\%$ de $40$ es $4$; el $30\%$ es $12$; el $5\%$ es la mitad del $10\%$, o sea $2$; total $12+2=14$. ✓

Resultado: $14$ estudiantes. Descomponer el porcentaje en $10\%$ y $5\%$ permite calcularlo de cabeza.

Ejemplo resuelto: interpretar el resultado

Un colegio mixto tiene $1\,200$ estudiantes; $540$ son hombres. ¿Cuál es la diferencia porcentual entre hombres y mujeres?

Paso 1. Mujeres: $1\,200-540=660$.
Paso 2. Porcentaje de hombres: $\frac{540}{1\,200}=0{,}45=45\%$. Porcentaje de mujeres: $\frac{660}{1\,200}=0{,}55=55\%$.
Paso 3. La diferencia es $55\%-45\%=10\%$.

Resultado: la diferencia es de $10\%$. Aquí interpretar es clave: no se pregunta cuántas mujeres hay, sino la diferencia entre los dos porcentajes.

El error típico

Confundir el porcentaje de uno con la diferencia entre dos. En el ejemplo anterior, responder "$55\%$" (el porcentaje de mujeres) cuando se pide la diferencia ($10\%$). Y al aplicar descuentos: un $20\%$ de descuento sobre $\$5\,000$ es $\$1\,000$ de rebaja; el precio final es $\$4\,000$, no $\$1\,000$. Lee si te piden la parte, el resto o la diferencia.

En la ECEP

Hay ítems de cálculo directo (el $X\%$ de una cantidad), de diferencia porcentual, y de problemas con IVA y ganancias donde hay que encadenar dos porcentajes. Estrategia: convierte siempre el porcentaje a decimal o fracción, opera, y al final relee la pregunta para entregar exactamente lo que pide (la parte, el total, el descuento o la diferencia).

Auto-chequeo Una camiseta de $\$8\,000$ tiene un $15\%$ de descuento. ¿Cuál es el precio final?

El descuento es $0{,}15\times 8\,000=\$1\,200$. Precio final: $8\,000-1\,200=\$6\,800$. (Atajo: pagar el $85\%$, o sea $0{,}85\times 8\,000=6\,800$.)

Pregunta tipo ECEP

La matrícula de un establecimiento municipal mixto está formada por $1\,200$ estudiantes. Si la matrícula de hombres es de $540$, ¿cuál es la diferencia porcentual entre la matrícula de hombres y la de mujeres?

A) $55\%$, que es el porcentaje correspondiente a la matrícula de mujeres del establecimiento.
B) $45\%$, que es el porcentaje correspondiente a la matrícula de hombres del establecimiento.
C) $100\%$, porque la matrícula total reúne a hombres y mujeres del establecimiento mixto.
D) $10\%$, que es la diferencia entre el porcentaje de mujeres y el porcentaje de hombres.

Correcta: D. Hombres: $\frac{540}{1200}=45\%$; mujeres: $\frac{660}{1200}=55\%$. La diferencia es $55\%-45\%=10\%$. A entrega el porcentaje de mujeres y B el de hombres: son cantidades correctas, pero no la diferencia que se pide. C ($100\%$) es la suma de ambos, no su diferencia.

Pregunta tipo ECEP

Una entrada de cine cuesta $\$6\,000$. Para el estreno, la sala anuncia primero un recargo del $20\%$ sobre ese precio y, luego, un descuento del $20\%$ aplicado sobre el precio ya recargado. ¿Cuál es el precio final de la entrada?

A) $\$6\,000$, porque el recargo y el descuento son del mismo porcentaje y se anulan exactamente.
B) $\$7\,200$, ya que solo corresponde aplicar el recargo del veinte por ciento al valor inicial.
C) $\$4\,800$, dado que basta con aplicar el descuento del veinte por ciento al precio original.
D) $\$5\,760$, pues el descuento se calcula sobre el precio ya recargado, no sobre el inicial.

Correcta: D. El recargo lleva el precio a $6\,000\times1{,}2=\$7\,200$. El descuento del $20\%$ se calcula sobre ese nuevo valor: $7\,200\times0{,}8=\$5\,760$. A es la trampa clásica: un $+20\%$ y un $-20\%$ no se anulan, porque se aplican sobre bases distintas. B se queda solo con el recargo y C solo con el descuento sobre el original; ambos olvidan encadenar las dos operaciones en orden.

Subdominio 1.3 · Potencias y raíces

Multiplicar un número por sí mismo, muchas veces

Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación repetida. El temario pide resolver problemas rutinarios con potencias de base real y exponente entero (multiplicación iterada, notación científica, crecimiento y decrecimiento) y operar multiplicaciones y divisiones de potencias de base fraccionaria o decimal. Aquí lo importante es entender qué significa cada potencia antes de aplicar reglas.

1.3

Potencias de base real y exponente entero: notación científica, crecimiento y decrecimiento

Desde cero

Una potencia $a^n$ es multiplicar la base $a$ por sí misma tantas veces como indica el exponente $n$. Así, $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$ (multiplicación iterada). Tres casos clave del exponente:

Exponente positivo: multiplicación repetida. $10^4 = 10\times10\times10\times10 = 10\,000$.
Exponente $0$: toda potencia de exponente $0$ vale $1$ (con base distinta de cero). $7^0=1$.
Exponente negativo: es el inverso de la potencia positiva. $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$. Un exponente negativo no hace negativo el resultado: lo hace más pequeño (una fracción).

Notación científica

Sirve para escribir números muy grandes o muy pequeños de forma compacta, como el producto de un número entre $1$ y $10$ por una potencia de $10$:

$5{,}68 \times 10^{8}$ significa correr la coma ocho lugares a la derecha: $568\,000\,000$ (un número grande).
$5{,}68 \times 10^{-8}$ significa correr la coma ocho lugares a la izquierda: $0{,}0000000568$ (un número muy pequeño, entre $0$ y $1$).

Regla: exponente positivo → número grande; exponente negativo → número pequeño (decimal entre $0$ y $1$).

Figura 9. El exponente indica cuántos lugares se corre la coma: con $10^{8}$ el número se hace enorme ($5{,}68\times10^{8}=568.000.000$); con $10^{-8}$ se hace diminuto ($5{,}68\times10^{-8}=0{,}0000000568$).

Ejemplo resuelto: crecimiento (multiplicación iterada)

Una bacteria se duplica cada hora. Si parte $1$ bacteria, ¿cuántas hay tras $5$ horas?

Paso 1. Cada hora se multiplica por $2$: es la potencia $2^{(\text{horas})}$.
Paso 2. Tras $5$ horas: $2^5 = 2\times2\times2\times2\times2 = 32$.

Hay $32$ bacterias. Las potencias modelan el crecimiento (cuando la base es mayor que $1$) y el decrecimiento (cuando la base está entre $0$ y $1$, por ejemplo algo que se reduce a la mitad cada paso: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^n$).

El error típico

Creer que $-3^2$ y $(-3)^2$ son lo mismo. No: en $(-3)^2$ la base es $-3$, y $(-3)\times(-3)=9$ (positivo). Pero $-3^2$ se lee "el opuesto de $3^2$", o sea $-(3\times3)=-9$ (negativo). El paréntesis decide el signo. Otro error: pensar que $2^{-3}$ es negativo; en realidad es $\frac{1}{8}$, un número positivo y pequeño.

En la ECEP

Hay ítems de tipo de número ("¿a qué número corresponde $-3^2$?"), de notación científica ("¿cómo queda si el exponente fuese negativo?") y de crecimiento/decrecimiento en contexto. Estrategia: identifica primero la base y el signo del exponente, decide si el resultado será grande o pequeño, positivo o negativo, y recién entonces calcula.

Auto-chequeo ¿Cuánto vale $5^{-2}$? ¿Es positivo o negativo?

$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}=0{,}04$. Es positivo y menor que $1$. El exponente negativo invierte la potencia (la hace fracción), pero no cambia el signo.

Pregunta tipo ECEP

Se tiene el número escrito en notación científica $5{,}68 \times 10^{8}$. ¿Cómo sería el número si el exponente de la notación científica fuese negativo ($5{,}68 \times 10^{-8}$)?

A) Un número decimal mayor que $1$, porque la coma se desplaza varios lugares hacia la derecha.
B) Un número decimal entre $0$ y $1$, porque la coma se corre ocho lugares hacia la izquierda.
C) Un número entero negativo, ya que el signo del exponente vuelve negativo el resultado final.
D) Un número decimal menor que $-1$, debido a que el exponente negativo invierte el signo.

Correcta: B. Un exponente negativo en la potencia de $10$ significa correr la coma hacia la izquierda: $5{,}68\times10^{-8}=0{,}0000000568$, un decimal entre $0$ y $1$. A describe el caso de exponente positivo (número grande). C y D confunden "exponente negativo" con "número negativo": el exponente negativo achica el número, no lo vuelve negativo.

1.3

Multiplicar y dividir potencias de base fraccionaria o decimal

Desde cero

Cuando dos potencias tienen la misma base, hay dos reglas que evitan toda la multiplicación repetida:

Producto de potencias de igual base: se mantiene la base y se suman los exponentes. $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
Cociente de potencias de igual base: se mantiene la base y se restan los exponentes. $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Estas reglas valen igual si la base es una fracción o un decimal. Y para elevar una fracción a una potencia, se eleva arriba y abajo: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.

Ejemplo resuelto: producto con base fraccionaria

Calculemos $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$.

Paso 1. Igual base $\frac{2}{3}$: sumo los exponentes. $\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}$.
Paso 2. Desarrollo elevando arriba y abajo: $\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\dfrac{2^5}{3^5}=\dfrac{32}{243}$.

Resultado: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{32}{243}$. Sumar exponentes es mucho más rápido que multiplicar las cinco fracciones una por una.

Ejemplo resuelto: cociente con base decimal

Calculemos $\;0{,}5^{6} : 0{,}5^{2}$.

Paso 1. Igual base $0{,}5$: resto los exponentes. $0{,}5^{6-2}=0{,}5^{4}$.
Paso 2. Calculo: $0{,}5^{4}=0{,}5\times0{,}5\times0{,}5\times0{,}5=0{,}0625$. (Equivale a $\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$.)

Resultado: $0{,}0625$. Pasar el decimal a fracción ($0{,}5=\frac{1}{2}$) suele simplificar el cálculo a mano.

El error típico

Multiplicar los exponentes cuando hay que sumarlos. $a^2 \times a^3$ es $a^{5}$ (se suman: $2+3$), no $a^{6}$ (eso sería $\left(a^2\right)^3$, una potencia de potencia, regla distinta). Y al dividir, no olvides restar, no dividir, los exponentes: $a^6 : a^2 = a^{4}$.

En la ECEP

Aparecen operaciones de multiplicación y división de potencias de igual base (fraccionaria o decimal) donde basta aplicar "sumar/restar exponentes", y luego decidir qué tipo de número resulta (por ejemplo, una potencia de base entre $0$ y $1$ da un resultado entre $0$ y $1$). Estrategia: primero simplifica con la regla de exponentes; recién al final desarrolla el valor numérico si la pregunta lo exige.

Auto-chequeo Resuelve $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{5} : \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}$.

Igual base: resto exponentes, $\left(\frac{3}{4}\right)^{5-3}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$. Como la base está entre $0$ y $1$, el resultado también queda entre $0$ y $1$.

Pregunta tipo ECEP

Observe la siguiente operación: $\;\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}$. ¿De qué tipo es el número que resulta de esta multiplicación de potencias?

A) Un número decimal entre $0$ y $1$, porque la base es menor que uno y el exponente la achica.
B) Un número decimal mayor que $1$, ya que multiplicar dos potencias siempre agranda el valor.
C) Un número decimal entre $0$ y $-1$, debido a que la fracción se vuelve negativa al operar.
D) Un número decimal menor que $-1$, porque el producto de las potencias invierte su signo.

Correcta: A. Igual base $\frac{1}{5}$: se suman los exponentes, $\left(\frac{1}{5}\right)^{3+2}=\left(\frac{1}{5}\right)^{5}=\frac{1}{3\,125}=0{,}00032$, un decimal positivo entre $0$ y $1$. Como la base está entre $0$ y $1$, elevarla la hace más pequeña, nunca mayor que $1$. B supone que multiplicar siempre agranda (falso con bases menores que $1$). C y D introducen un signo negativo que no existe: $\frac{1}{5}$ es positiva, así que todas sus potencias lo son.